难解决的算法题集

25匹马的角逐：

问题是这样的：一共有25匹马，有一个赛场，赛场有5个赛道，就是说最多同时可以有5匹马一起比赛。假设每匹马都跑的很稳定，不用任何其他工具，只通过马与马之间的比赛，试问最少 得比多少场才能知道跑得最快的5匹马。

 

注意： "假设每匹马都跑的很稳定" 的意思是在上一场比赛中A马比B马快，则下一场比赛中A马依然比B马快。

 

稍微想一下，可以采用一种 竞标赛排序(Tournament Sort)的思路。 见《选择排序 》

 

(1) 首先将25匹马分成5组，并分别进行5场比赛之后得到的名次排列如下：

              A组：  [A1  A2  A3   A4  A5]

              B组：  [B1  B2  B3   B4  B5]

              C组：  [C1  C2  C3  C4  C5]

              D组：  [D1  D2  D3  D4  D5]

              E组：  [E1  E2  E3   E4  E5]

      其中，每个小组最快的马为[A1、B1、C1、D1、E1]。

(2) 将[A1、B1、C1、D1、E1]进行第6场，选出第1名的马，不妨设 A1>B1>C1>D1>E1. 此时第1名的马为A1。

(3) 将[A2、B1、C1、D1、E1]进行第7场，此时选择出来的必定是第2名的马，不妨假设为B1。因为这5匹马是除去A1之外每个小组当前最快的马。

(3) 进行第8场，选择[A2、B2、C1、D1、E1]角逐出第3名的马。

(4) 依次类推，第9，10场可以分别决出第4，5名的吗。

 

因此，依照这种竞标赛排序思想，需要10场比赛是一定可以取出前5名的。

 

 

仔细想一下，如果需要减少比赛场次，就一定需要在某一次比赛中同时决出2个名次，而且每一场比赛之后，有一些不可能进入前5名的马可以提前出局。 当然要做到这一点，就必须小心选择每一场比赛的马匹。我们在上面的方法基础上进一步思考这个问题，希望能够得到解决。

 

(1) 首先利用5场比赛角逐出每个小组的排名次序是绝对必要的。

(2) 第6场比赛选出第1名的马也是必不可少的。假如仍然是A1马(A1>B1>C1>D1>E1)。那么此时我们可以得到一个重要的结论：有一些马在前6场比赛之后就决定出局的命运了(下面绿色字体标志出局)。

       A组：  [A1  A2  A3   A4  A5]

       B组：  [B1  B2  B3   B4  B5 ]

       C组：  [C1  C2  C3  C4  C5 ]

       D组：  [D1  D2  D3  D4  D5 ]

       E组：  [E1  E2  E3   E4  E5 ]

(3) 第7场比赛是关键，能否同时决出第2，3名的马呢？我们首先做下分析：

     在上面的方法中，第7场比赛[A2、B1、C1、D1、E1]是为了决定第2名的马。但是在第6场比赛中我们已经得到(B1>C1>D1>E1)，试问？有B1在的比赛，C1、D1、E1还有可能争夺第2名吗？ 当然不可能，也就是说第2名只能在A2、B1中出现。实际上只需要2条跑道就可以决出第2名，剩下C1、D1、E1的3条跑道都只能用来凑热闹的吗？

     能够优化的关键出来了，我们是否能够通过剩下的3个跑道来决出第3名呢？当然可以，我们来进一步分析第3名的情况？

     ● 如果A2>B1(即第2名为A2)，那么根据第6场比赛中的(B1>C1>D1>E1)。 可以断定第3名只能在A3和B1中产生。

     ● 如果B1>A2(即第2名为B1)，那么可以断定的第3名只能在A2, B2,C1 中产生。

     好了，结论也出来了，只要我们把[A2、B1、A3、B2、C1]作为第7场比赛的马，那么这场比赛的第2，3名一定是整个25匹马中的第2，3名。

     我们在这里列举出第7场的2，3名次的所有可能情况：

     ①  第2名=A2，第3名=A3

     ②  第2名=A2，第3名=B1

     ③  第2名=B1，第3名=A2

     ④  第2名=B1，第3名=B2

     ⑤  第2名=B1，第3名=C1

 

(4)  第8场比赛很复杂，我们要根据第7场的所有可能的比赛情况进行分析。

      ①  第2名=A2，第3名=A3。那么此种情况下第4名只能在A4和B1中产生。

           ● 如果第4名=A4，那么第5名只能在A5、B1中产生。

           ● 如果第4名=B1，那么第5名只能在A4、B2、C1中产生。

           不管结果如何，此种情况下，第4、5名都可以在第8场比赛中决出。其中比赛马匹为[A4、A5、B1、B2、C1]

      ②  第2名=A2，第3名=B1。那么此种情况下第4名只能在A3、B2、C1中产生。

           ● 如果第4名=A3，那么第5名只能在A4、B2、C1中产生。

           ● 如果第4名=B2，那么第5名只能在A3、B3、C1中产生。

           ● 如果第4名=C1，那么第5名只能在A3、B2、C2、D1中产生。

           那么，第4、5名需要在马匹[A3、B2、B3、C1、A4、C2、D1]七匹马中产生，则必须比赛两场才行，也就是到第9场角逐出全部的前5名。

      ③  第2名=B1，第3名=A2。那么此种情况下第4名只能在A3、B2、C1中产生。

           情况和②一样，必须角逐第9场

      ④  第2名=B1，第3名=B2。 那么此种情况下第4名只能在A2、B3、C1中产生。

           ● 如果第4名=A2，那么第5名只能在A3、B3、C1中产生。

           ● 如果第4名=B3，那么第5名只能在A2、B4、C1中产生。

           ● 如果第4名=C1，那么第5名只能在A2、B3、C2、D1中产生。

            那么，第4、5名需要在马匹[A2、B3、B4、C1、A3、C2、D1]七匹马中产生，则必须比赛两场才行，也就是到第9场角逐出全部的前5名。

        ⑤  第2名=B1，第3名=C1。那么此种情况下第4名只能在A2、B2、C2、D1中产生。

            ● 如果第4名=A2，那么第5名只能在A3、B2、C2、D1中产生。

            ● 如果第4名=B2，那么第5名只能在A2、B3、C2、D1中产生。

            ● 如果第4名=C2，那么第5名只能在A2、B2、C3、D1中产生。

            ● 如果第4名=D1，那么第5名只能在A2、B2、C2、D2、E2中产生。

             那么，第4、5名需要在马匹[A2、B2、C2、D1、A3、B3、C3、D2、E1]九匹马中产生，因此也必须比赛两场，也就是到第9长决出胜负。

 

 

总结：最好情况可以在第8场角逐出前5名，最差也可以在第9场搞定。

 

 

 

 

 

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1. 请设计一个字典。以字符串为索引，存储用户定义的定长结构。要求有增、删、查、改的功能。已经给定一个函数，可以由字符串映射到一个签名，每个签名由两个unsigned int类型组成。假设每一个字符串能够对应唯一的一个签名，完全没有重复（或者重复的概率可以忽略），并且签名分布足够均匀。

请描述你的数据结构？内存如何申请？增、删、查、改的功能如何实现？如果操作很频繁，该如何优化？
需要把整个数组都进行排序的。

 

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2. 一个单词字典库，单词个数约为10万，每个单词长度不超过16，单词都是由小写字母组成，同时给出16个小写字母，
请设计一种高效算法来找到用这些给出字母拼出一个字典中最大长度的单词。给出的16个字母每个字母最多使用一次，也可以不使用。
存在多解的时候给出任意一个最优答案就行。

例如：给出adeenrstuvxyzuki可以拼出adventures
请详细描述你的算法思路（如需要，可给出代码\伪代码来辅助描述），并分析其时间复杂度。最后请分析下你的算法以及数据结构的优缺点，存在哪些可改进的地方。