【转】 http://blog.csdn.net/manesking/archive/2007/02/09/1505979.aspx
B
树
即二叉搜索树:
1.
所有非叶子结点至多拥有两个儿子(
Left
和
Right
);
2.
所有结点存储一个关键字;
3.
非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树,右指针指向大于其关键字的子树;
如:
B
树的搜索,从根结点开始,如果查询的关键字与结点的关键字相等,那么就命中;否则,如果查询关键字比
结点关键字小,就进入左儿子;如果比结点关键字大,就进入右儿子;如果左儿子或右儿子的指针为空,则报告找不到相应的关键字;
如果
B
树的所有非叶子结点的左右子树的
结点数目均保持差不多(平衡),那么
B
树的搜索性能逼近二分查找;但它比连续内存空间的二分查找的优点是,改变
B
树结构(插入与删除结点)不需要移动大段的内存数据,甚至通常是常数开销;
如:
但
B
树在经过多次插入与删除后,有可能导致不同的结构:
右边也是一个
B
树,但
它的搜索性能已经是线性的了;同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引;所以,使用
B
树还
要考虑尽可能让
B
树保持左图的结构,和避免右图的结构,也就是所谓的“平衡”问题;
实际使用的
B
树都是在原
B
树的基
础上加上平衡算法,即“平衡二叉树”;如何保持
B
树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的
关键;平衡算法是一种在
B
树中插入和删除结点的策略;
B-
树
是一种多路搜索树(并不是二叉的):
1.
定义任意非叶子结点最多只有
M
个儿
子;且
M>2
;
2.
根结点的儿子数为
[2, M]
;
3.
除根结点以外的非叶子结点的儿子数为
[M/2, M]
;
4.
每个结点存放至少
M/2-1
(取
上整)和至多
M-1
个关键字;(至少
2
个关键
字)
5.
非叶子结点的关键字个数
=
指向儿
子的指针个数
-1
;
6.
非叶子结点的关键字:
K[1], K[2], …, K[M-1]
;且
K[i] < K[i+1]
;
7.
非叶子结点的指针:
P[1], P[2], …, P[M]
;其中
P[1]
指向关键字小于
K[1]
的子树,
P[M]
指向关键字大于
K[M-1]
的子树,其它
P[i]
指
向关键字属于
(K[i-1],
K[i])
的子树;
8.
所有叶子结点位于同一层;
如:(
M=3
)
B-
树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查
询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点;
B-
树的特性:
1.
关键字集合分布在整颗树中;
2.
任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;
3.
搜索有可能在非叶子结点结束;
4.
其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;
5.
自动层次控制;
由于限制了除根结点以外的非叶子结点,至少含有
M/2
个儿子,确保了结点的至少利用率,其最底搜索性能为:
其中,
M
为设定的非叶子结点最多子树个
数,
N
为关键字总数;
所以
B-
树的性能总是等价于二分查找
(与
M
值无关),也就没有
B
树平衡
的问题;
由于
M/2
的限制,在插入结点时,如果
结点已满,需要将结点分裂为两个各占
M/2
的结点;删除结点时,需将两个不足
M/2
的
兄弟结点合并;
B+
树
B+
树是
B-
树的变体,也是一种多路搜索
树:
1.
其定义基本与
B-
树
同,除了:
2.
非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;
3.
非叶子结点的子树指针
P[i]
,
指向关键字值属于
[K[i],
K[i+1])
的子树(
B-
树是开区间);
5.
为所有叶子结点增加一个链指针;
6.
所有关键字都在叶子结点出现;
如:(
M=3
)
B+
的搜索与
B-
树也基本相同,区别是
B+
树只有达到叶子结点才命中(
B-
树可
以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;
B+
的特性:
1.
所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;
2.
不可能在非叶子结点命中;
3.
非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;
4.
更适合文件索引系统;
B*
树
是
B+
树的变体,在
B+
树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;
B*
树定义了非叶子结点关键字个数至少为
(2/3)*M
,即块的最低使用率为
2/3
(代替
B+
树的
1/2
);
B+
树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中
1/2
的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;
B+
树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;
B*
树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原
结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制
1/3
的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;
所以,
B*
树分配新结点的概率比
B+
树要低,空间使用率更高;
小结
B
树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于走右结点;
B-
树:多路搜索树,每个结点存储
M/2
到
M
个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;
所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;
B+
树:在
B-
树基础上,为叶子结点增加链
表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;
B+
树总
是到叶子结点才命中;
B*
树:在
B+
树基础上,为非叶子结点也增
加链表指针,将结点的最低利用率从
1/2
提高到
2/3
;
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