【排序结构6】 桶排序

从《基于比较的排序结构总结 》中我们知道：全依赖“比较”操作的排序算法时间复杂度的一个下界O(N*logN)。但确实存在更快的算法。这些算法并不是不用“比较”操作，也不是想办法将比较操作的次数减少到 logN。而是利用对待排数据的某些限定性假设 ，来避免绝大多数的“比较”操作。桶排序就是这样的原理。

 

桶排序的基本思想

       假设有一组长度为N的待排关键字序列K[1....n]。首先将这个序列划分成M个的子区间(桶) 。然后基于某种映射函数 ，将待排序列的关键字k映射到第i个桶中(即桶数组B的下标 i) ，那么该关键字k就作为B[i]中的元素(每个桶B[i]都是一组大小为N/M的序列)。接着对每个桶B[i]中的所有元素进行比较排序(可以使用快排)。然后依次枚举输出B[0]....B[M]中的全部内容即是一个有序序列。

 

[桶—关键字]映射函数

      bindex=f(key)   其中，bindex 为桶数组B的下标(即第bindex个桶), k为待排序列的关键字。桶排序之所以能够高效，其关键在于这个映射函数，它必须做到：如果关键字k1<k2，那么f(k1)<=f(k2)。也就是说B(i)中的最小数据都要大于B(i-1)中最大数据。很显然，映射函数的确定与数据本身的特点有很大的关系，我们下面举个例子：

 

假如待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。这些数据全部在1—100之间。因此我们定制10个桶，然后确定映射函数f(k)=k/10。则第一个关键字49将定位到第4个桶中(49/10=4)。依次将所有关键字全部堆入桶中，并在每个非空的桶中进行快速排序后得到如下图所示：

                                                      

对上图只要顺序输出每个B[i]中的数据就可以得到有序序列了。

 

桶排序代价分析

桶排序利用函数的映射关系，减少了几乎所有的比较工作。实际上，桶排序的f(k)值的计算，其作用就相当于快排中划分，已经把大量数据分割成了基本有序的数据块(桶)。然后只需要对桶中的少量数据做先进的比较排序即可。

 

对N个关键字进行桶排序的时间复杂度分为两个部分：

(1) 循环计算每个关键字的桶映射函数，这个时间复杂度是O(N)。

(2) 利用先进的比较排序算法对每个桶内的所有数据进行排序，其时间复杂度为  ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 为第i个桶的数据量。

 

很显然，第(2)部分是桶排序性能好坏的决定因素。尽量减少桶内数据的数量是提高效率的唯一办法(因为基于比较排序的最好平均时间复杂度只能达到O(N*logN)了)。因此，我们需要尽量做到下面两点：

(1) 映射函数f(k)能够将N个数据平均的分配到M个桶中，这样每个桶就有[N/M]个数据量。

(2) 尽量的增大桶的数量。极限情况下每个桶只能得到一个数据，这样就完全避开了桶内数据的“比较”排序操作。 当然，做到这一点很不容易，数据量巨大的情况下，f(k)函数会使得桶集合的数量巨大，空间浪费严重。这就是一个时间代价和空间代价的权衡问题了。

 

对于N个待排数据，M个桶，平均每个桶[N/M]个数据的桶排序平均时间复杂度为：

             O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM)

当N=M时，即极限情况下每个桶只有一个数据时。桶排序的最好效率能够达到O(N)。

 

总结： 桶排序的平均时间复杂度为线性的O(N+C)，其中C=N*(logN-logM)。如果相对于同样的N，桶数量M越大，其效率越高，最好的时间复杂度达到O(N)。 当然桶排序的空间复杂度 为O(N+M)，如果输入数据非常庞大，而桶的数量也非常多，则空间代价无疑是昂贵的。此外，桶排序是稳定的。

 

其实我个人还有一个感受：在查找算法中，基于比较的查找算法最好的时间复杂度也是O(logN)。比如折半查找、平衡二叉树、红黑树等。但是Hash表却有O(C)线性级别的查找效率(不冲突情况下查找效率达到O(1))。大家好好体会一下：Hash表的思想和桶排序是不是有一曲同工之妙呢?

 

 

桶排序在海量数据中的应用

 

一年的全国高考考生人数为500 万，分数使用标准分，最低100 ，最高900 ，没有小数，你把这500 万元素的数组排个序。

 

分析：对500W数据排序，如果基于比较的先进排序，平均比较次数为O(5000000*log5000000)≈1.112亿。但是我们发现，这些数据都有特殊的条件：  100=<score<=900。那么我们就可以考虑桶排序这样一个“投机取巧”的办法、让其在毫秒级别就完成500万排序。

 

方法：创建801(900-100)个桶。将每个考生的分数丢进f(score)=score-100的桶中。这个过程从头到尾遍历一遍数据只需要500W次。然后根据桶号大小依次将桶中数值输出，即可以得到一个有序的序列。而且可以很容易的得到100分有***人，501分有***人。

 

实际上，桶排序对数据的条件有特殊要求，如果上面的分数不是从100-900，而是从0-2亿，那么分配2亿个桶显然是不可能的。所以桶排序有其局限性，适合元素值集合并不大的情况。

 

 

源代码

#include<iostream.h>
#include<malloc.h>

typedef struct node{
	int key;
	struct node * next;
}KeyNode;

void inc_sort(int keys[],int size,int bucket_size){
	KeyNode **bucket_table=(KeyNode **)malloc(bucket_size*sizeof(KeyNode *));
	for(int i=0;i<bucket_size;i++){
		bucket_table[i]=(KeyNode *)malloc(sizeof(KeyNode));
		bucket_table[i]->key=0; //记录当前桶中的数据量
		bucket_table[i]->next=NULL;
	}
	for(int j=0;j<size;j++){
		KeyNode *node=(KeyNode *)malloc(sizeof(KeyNode));
		node->key=keys[j];
		node->next=NULL;
		//映射函数计算桶号
		int index=keys[j]/10;
		//初始化P成为桶中数据链表的头指针
		KeyNode *p=bucket_table[index];
		//该桶中还没有数据
		if(p->key==0){
			bucket_table[index]->next=node;
			(bucket_table[index]->key)++;
		}else{
			//链表结构的插入排序
			while(p->next!=NULL&&p->next->key<=node->key)
				p=p->next;	
			node->next=p->next;
			p->next=node;
			(bucket_table[index]->key)++;
		}
	}
	//打印结果
	for(int b=0;b<bucket_size;b++)
		for(KeyNode *k=bucket_table[b]->next; k!=NULL; k=k->next)
			cout<<k->key<<" ";
	cout<<endl;
}

void main(){
	int raw[]={49,38,65,97,76,13,27,49};   
	int size=sizeof(raw)/sizeof(int);   
	inc_sort(raw,size,10);
}

 

 上面源代码的桶内数据排序，我们使用了基于单链表的直接插入排序算法。可以使用基于双向链表的快排算法提高效率。

 

 

评论

5 楼 linuxfs 2013-09-07  

写的非常好。

4 楼 nan_jia 2012-10-24  

写的很好

3 楼 sytu_hzj 2011-10-09  

感觉楼主写得言简意赅啊，空间这么点访问量有点不应该了。
讲得很好！

2 楼 Heart.X.Raid 2010-08-17  

谢谢xifangyuhui，是我写错了。

1 楼 xifangyuhui 2010-08-17  

楼主，
“如果关键字k1<k2，那么f(k1)<=f(k2)。也就是说B(i)中的最小数据都要大于B(i+1)中最大数据。”
这一块是不是写反了？应该是“B(i+1)中的最小数据都要大于B(i)中最大数据”吧？