【排序结构4】 归并排序

归并排序 O(N*logN) 是另一种效率很高的排序方法。"归并"的含义就是将两个或两个以上的有序表组合成一个有序表。加入两个有序表的长度分别为m、n，则一次归并的时间复杂度为O(m+n)。

 

我们可以用"归并"的思想来实现排序。假如待排序列含有n个关键字，则可看成是n个有序的子序列，每个序列长度为1，然后两两归并，得到[n/2]个长度为2或1的子序列，在两两归并....，知道得到一个长度为n的有序序列为止。这就是2-路归并算法。

 

下图就是2-路归并排序的一个例子：

 

我们可以用分治的思想解决归并排序，给定一个有N个关键字的有序序列，分治法的步骤如下：

(1)划分： 如果S中有1个元素，则直接返回S，因为它已经有序了。否则(S中至少有两个元素)，把它们分别放入两个序列S1和S2中，S1和S2各包含大约S中的一半元素，即S1包含S中的前[N/2]个元素，S2包含S中的后[N/2]个元素。

(2)递归：递归求解子问题S1和S2。

(3)求解：归并有序序列S1和S2，使得他们成为一个有序序列，将其中的元素放回S中。

#include<iostream.h>
#include<malloc.h>
/************************  
 * 归并排序 Merge Sort  *   
 ***********************/   
class MergeSort{
public:
	//递增排序
	static void inc_sort(int keys[], int size);
private:
	//归并排序算法
	static void merge_sort(int raw[], int *merged, int s, int t);
	//归并
	static void merge(int raw[], int *merged, int si, int mi, int ti);
};

void MergeSort:: merge(int raw[], int *merged, int si, int mi, int ti){

	//把已近排序号的si-mi，mi-ti两个序列赋值给raw
	for(int t=si;t<=ti;t++)
			raw[t]=merged[t];
	//归并
	int i=si,j=mi+1,k=si;
	for(;i<=mi&&j<=ti;){
		if(raw[i]<=raw[j]) merged[k++]=raw[i++];
		else merged[k++]=raw[j++];
	}
	if(i<=mi)
		for(int x=i;x<=mi;)
			merged[k++]=raw[x++];
	if(j<=ti)
		for(int y=j;y<=ti;)
			merged[k++]=raw[y++];
}
//划分
void MergeSort:: merge_sort(int raw[], int *merged, int s, int t){

	if(s==t) merged[s]=raw[s];
	else{
		int m=(s+t)/2;
		MergeSort::merge_sort(raw, merged, s, m);
		MergeSort::merge_sort(raw, merged, m+1,t);
		MergeSort::merge(raw, merged, s,m,t);
	}
}

void MergeSort:: inc_sort(int keys[],int size){

	int * merged=(int *)malloc(size*sizeof(int));
	MergeSort::merge_sort(keys,merged,0,size-1);
	//打印排序结果
	for(int i=0;i<size;i++)
		cout<<merged[i]<<" ";
	cout<<endl;

	free(merged);
}
//Test MergeSort
void main(){
	int raw[]={49,38,65,97,76,13,27,49};   
	int size=sizeof(raw)/sizeof(int);     
	MergeSort::inc_sort(raw,size);    
}

 

 代价分析：
上图可以看出，一个N关键字的序列，两两归并可以构造一棵高度为[logN]的归并排序树。而每一次归并的时间复杂度为O(m+n)。因此每一趟归并的时间复杂度为O(N)，如上图。归并排序算法的总时间复杂度为O(N*logN) 。其所需要的辅助空间就是一个能容纳中间合并结果的数量为N的连续空间。因此空间复杂度为O(N) 。是稳定排序方法 。