1、自然数是0,1,2......
2、素数是2,3,5......(不包括1的只能被1和它本身整除的自然数)
public class Test
{
/*
* 最普通的算法: 打印num以内的素数并返回素数个数 n、m分别为外、内层循环,i是第几个素数,s是素数个数
*/
public int prime(int num)
{
int n, m, i = 0, s = 0;
label1: for (n = 2; n <= num; n++)
{
for (m = 2; m <= n / 2; m++)
{
if (n % m == 0)
continue label1;
}
s++;
i++;
System.out.println("第" + i + "个素数是:" + n);
}
return s;
}
public static void main(String args[])
{
Test test = new Test();
int sum = test.prime(1000);
System.out.println("共" + sum + "个素数");
}
}
【1】求10000以内的所有素数。
素数是除了1和它本身之外再不能被其他数整除的自然数。由于找不到一个通项公式来表示所有的素数,所以对于
数学家来说,素数一直是一个未解之谜。像著名的
哥德巴赫猜想、孪生素数猜想,几百年来不知吸引了世界上多少优秀的数学家。尽管他们苦心钻研,呕心沥血,但至今仍然未见分晓。
自从有了计算机之后,人们借助于计算机的威力,已经找到了2
216091
以内的所有素数。
求素数的方法有很多种,最简单的方法是根据素数的定义来求。对于一个自然数N,用大于1小于N的各个自然数
都去除一下N,如果都除不尽,则N为素数,否则N为合数。
但是,如果用素数定义的方法来编制计算机程序,它的效率一定是非常低的,其中有许多地方都值得改进。
第一,对于一个自然数N,只要能被一个非1非自身的数整除,它就肯定不是素数,所以不
必再用其他的数去除。
第二,对于N来说,只需用小于N的素数去除就可以了。例如,如果N能被15整除,实际
上就能被3和5整除,如果N不能被3和5整除,那么N也决不会被15整除。
第三,对于N来说,不必用从2到N一1的所有素数去除,只需用小于等于√N(根号N)的所有素数去除就可以
了。这一点可以用反证法来证明:
如果N是合数,则一定存在大于1小于N的整数d1和d2,使得N=d1×d2。
如果d1和d2均大于√N,则有:N=d1×d2>√N×√N=N。
而这是不可能的,所以,d1和d2中必有一个小于或等于√N。
基于上述分析,设计算法如下:
(1)用2,3,5,7逐个试除N的方法求出100以内的所有素数。
(2)用100以内的所有素数逐个试除的方法求出10000以内的素数。
首先,将2,3,5,7分别存放在a[1]、a[2]、a[3]、a[4]中,以后每求出一个素数,只要不
大于100,就依次存放在A数组中的一个单元
中。当我们求100---10000之间的素数时,可依次用a[1]-a[2]的素数去试除N,这个范围内的素数可以不保存,直接打印。
【2】用筛法求素数。
简单介绍一下厄拉多塞筛法。厄拉多塞是一位古希腊数学家,他在寻找素数时,采用了一种与众不同的方法:先将
2-N的各数写在纸上:
在2的上面画一个圆圈,然后划去2的其他倍数;第一个既未画圈又没有被划去的数是3,将它画圈,再划
去3的其他倍数;现在既未画圈又没有被划去的第一个数
是5,将它画圈,并划去5的其他倍数......依次类推,一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时,表中画了圈的以及未划去的那些数正好
就是小于 N的素数。
这很像一面筛子,把满足条件的数留下来,把不满足条件的数筛掉。由于这种方法是厄拉多塞首先发明的,
所以,后人就把这种方法称作厄拉多塞筛法。
在计算机中,筛法可以用给数组单元置零的方法来实现。具体来说就是:首先开一个数
组:a[i],i=1,2,3,...,同时,令所有的数组元素都等于下标 值,即a[i]=i,当i不是素数时,令a[i]=0
。当输出结果时,只要判断a[i]是否等于零即可,如果a[i]=0,则令i=i+1,检查下一个a[i]。
筛法是计算机程序设计中常用的算法之一。
【3】用6N±1法求素数。
任何一个自然数,总可以表示成为如下的形式之一:
6N,6N+1,6N+2,6N+3,6N+4,6N+5 (N=0,1,2,...)
显然,当N≥1时,6N,6N+2,6N+3,6N+4都不是素数,只有形如6N+1和6N+5的自然数有
可能是素数。所以,除了2和3之外,所有的素数都可以表示成6N±1的形式(N为自然数)。
根据上述分析,我们可以构造另一面筛子,只对形如6
N±1的自然数进行筛选,这样就可以大大减少筛选的次数,从而进一步提高程序的运行效率和速度。
在程序上,我们可以用一个二重循环实现这一点,外循环i按3的倍数递增,内循环j为0-1的循环,则
2(i+j)-1恰好就是形如6N±1的自然数。
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