棋盘覆盖算法

 

在一个2^k x 2^k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

    这里我们用分治法解决该问题。分治法是把一个规模很大的问题分解为多个规模较小、类似的子问题，然后递归地解决所有子问题，最后再由子问题的解决得到原问题的解决。
【解题思路】：将2^k x 2^k的棋盘，先分成相等的四块子棋盘，其中特殊方格位于四个中的一个，构造剩下没特殊方格三个子棋盘，将他们中的也假一个方格设为特殊方格。如果是：

左上的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格
右下的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格

 

当然上面四种，只可能且必定只有三个成立，那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架，我们可以给它们作上相同的标记。这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似，我们就可以用递归算法解决。

代码如下：

#include<iostream.h>   
  
int tile=1;                   //L型骨牌的编号(递增)
  
int board[100][100];  //棋盘 

/*****************************************************
* 递归方式实现棋盘覆盖算法
* 输入参数：
* tr--当前棋盘左上角的行号
* tc--当前棋盘左上角的列号
* dr--当前特殊方格所在的行号
* dc--当前特殊方格所在的列号
* size：当前棋盘的:2^k
*****************************************************/
void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)   
  
{   
  
       if(size==1)       //棋盘方格大小为1,说明递归到最里层
  
              return;   
  
       int t=tile++;     //每次递增1
  
       int s=size/2;    //棋盘中间的行、列号(相等的)
  
       //检查特殊方块是否在左上角子棋盘中
       if(dr<tr+s && dc<tc+s)                 //在
  
              chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);   
  
       else         //不在，将该子棋盘右下角的方块视为特殊方块
  
       {   
  
              board[tr+s-1][tc+s-1]=t;   
  
              chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);   
  
       }   
  
       //检查特殊方块是否在右上角子棋盘中
       if(dr<tr+s && dc>=tc+s)                  //在
  
              chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);   
  
       else          //不在，将该子棋盘左下角的方块视为特殊方块
  
       {   
  
              board[tr+s-1][tc+s]=t;   
  
              chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);   
  
       }   
  
       //检查特殊方块是否在左下角子棋盘中
       if(dr>=tr+s && dc<tc+s)                 //在
  
              chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);   
  
       else            //不在，将该子棋盘右上角的方块视为特殊方块
  
       {   
  
              board[tr+s][tc+s-1]=t;   
  
              chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);   
  
       }   
  
       //检查特殊方块是否在右下角子棋盘中
       if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)                   //在
  
              chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);   
  
       else         //不在，将该子棋盘左上角的方块视为特殊方块
  
       {   
  
              board[tr+s][tc+s]=t;   
  
              chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);   
  
       }   
  
}   
  
    
  
void main()   
  
{   
  
       int size;   
  
       cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): ";   
  
       cin>>size;   
  
       int index_x,index_y;   
  
       cout<<"输入特殊方格位置的坐标: ";   
  
       cin>>index_x>>index_y;   
  
       chessBoard(0,0,index_x,index_y,size);   
  
       for(int i=0;i<size;i++)   
  
       {   
  
              for(int j=0;j<size;j++)   
  
                     cout<<board[i][j]<<"\t";   
  
              cout<<endl;    
  
       }    
  
}