深入连续整数固定和

深入连续整数固定和

问题介绍及经典解法
对问题的思考
新的算法


问题介绍及经典解法

在冼镜光的《c语言名题精选百则》中，问题2.16为连续整数固定和问题。

问题描述：
编写一个程序，读入一个正整数，把所有连续的，和为给定的正整数的正整数找出来。解中不包含该给定的正整数本身。

书中给出的givenSum1的code如下：

	private static void givenSum1(int given) {
		int left, right;
		int sum;

		for (sum = 0, left = right = 1; left < given / 2 + 1; right++) {
			sum += right;
			while (sum > given) {
				sum -= left;
				left++;
			}
			if (sum == given) {
				System.out.printf("\n%d - %d", left, right);
			}
		}
	}

分析：
通过简单的分析可以看出，该算法的复杂度为O(N)。


对问题的思考


我们放宽一下问题的解，解中包含这个给定的正整数。

为了更好的研究该问题。我们引入以下定义。

定义：对于一个给定正整数N该问题的一个解可以表述为A=(a,length),其中a为该连续整数的最小整数，length为该连续整数的长度。

由于A为该问题的一个解，则可知：
f(A)=(a+(a+1)+(a+2)+...+(a+length-1))=N。

仔细考虑之后，我们可以得出以下两个结论。

1 若A和B是该问题的两个不同的解，则A和B中的连续整数的个数必不同。
证明：
设给定的正整数为N,设A和B是两个不同的解并且有相同的长度r,设A=(a,r),B=(b,r)。因为A和B都是解，所以有f(A)=f(B)。因为A和B是不同的解，有a!=b，有f(A)!=f(B)。
矛盾，命题成立。

2 若给定一个正整数N，设A=(a,r)是该问题的一个解，则(1+r)*r=<2*N。
证明：
因为A=(a,r)是一个解，N=f(A)>=f(1,r)=r*(1+r)/2，所以，
2*N>=(1+r)*r。


新的算法


根据对问题的思考，我们有了一个新的算法。

	private static void givenSum2(int given) {
		int i, sum, tem;
		for (i = 1, sum = 0; given > sum; sum += i, i++) {
			tem = given - sum;
			if (tem % i == 0) {
				System.out.printf("\n%d - %d", tem / i, tem / i + i - 1);
			}
		}
	}

算法分析：
由结论2得知，该算法的复杂度为O(N^(1/2))。