如何把地球摆平

如何把地球摆平被墙了，在此存照。
作者：TRAMP

地球是圆的，地图是平的，如何将一颗圆球摆成平面的地图，就是这篇文章所要探讨的内容，此外，还要顺便讲讲地图要怎么看。

先说如何看地图，很多人看不懂地图，但有更多的人「以为」他们看得懂地图，而我是靠看地图吃饭的，所以知道其实看地图也是一门大学问。

首先，地图是怎么画出来的，要回答这个问题很简单，以前是用手画的，现在是用电脑画的(废话)，看不懂地图的人可能是无法把日常平视(向前看)的视觉印象转换成俯视(向下看)的图像，以前古人画的地图也是「平视」的地图，因为这是人类最直觉的视觉空间慨念，因此，一张地图可以分成四个「上面」，也就是站在画图基准点的位置，向东看、向西看、向北看、向南看，眼睛看到地形地物就直接画在图上，这样的一张地图摊在桌上没什么上下左右，你想看东面就把东面朝上，想看南面就把南面朝上，这样了吧？（注，一个方向平视的地图例子如下）

达达尼尔海峡

大概终于有人对于这种看了头昏脑胀分不清上下左右的地图有意见了，而且地图摊在桌上就如同人站在高处向下看，这个「俯视」的概念终于有人想通了，于是地图开始有了东南西北的「俯视」概念，古早的时候许多西方地图是将太阳升起的东方当作地图的「上方」(这跟咱们前教育部长杜正胜的理念有点吻合)，找到东方就等于找到了方向，因此英文Orient(东方)的名词Orientation就是「方向」的意思，中国古代皇帝座的龙椅一定是「坐北朝南」的方位，因此臣子呈给皇帝看的地图很自然的将南方位于地图的「上方」。台湾先民从大陆渡海来台，故乡的方位在西方，很自然的就把西方当成地图的「上方」。因此古代的地图以哪个方位作为地图的上方，其实并没有一定的标准可言，那么现在的地图又为什么以北方在上的为主呢？我想，主要的原因应该是跟航海使用的指北针(磁罗经)指向北方有关，在制作航海图时，为了跟指北针朝上的方位一致，因此海图的上方一律朝北，这种北方朝上的地图后来逐渐成为主流。
等到人们终于发现地球是圆的时候，问题就来了，要如何把球形的玩意摊平在一张纸上呢？这个问题曾让所有画地图的人伤透了脑筋，而且到现在还是很伤脑筋，另一个让人伤脑筋的问题是如何将地形的轮廓正确无误的画在地图上，我们看过许多古代的地图对照真实的地貌简直是鬼画符，要怎样将地球的轮廓转移到地图上呢？聪明的绘图师想出了「投影」的方法，这个原理很简单，点一根蜡烛，把自己摆在蜡烛跟墙壁之间，你的身影就会投射到墙面上，然后把黑影描绘出来就是非常写实的「剪影像」。

不过你在玩这个游戏的时候可能会发现，蜡烛摆放的位置向左右移动，人影也会跟着移动而且变形，蜡烛位置改变高度也会变形，即使位置都不变，离光源中心距离最远的头部及脚步都会放大变形，比较真实的影像则是位于光源中心部位的阴影。

因此，看似简单的「投影」方法，其实也颇有学问，从古至今，人们想出了各种稀奇古怪的投影方式，在此不一一赘述，我仅提出三种目前最普遍使用的投影方式：

1. 圆锥投影法


2. 圆筒投影法


3. 平面投影法


以上三种投影方法又都可分为「切面」投影及「割面」投影两种(如图左右两边所示)，但是真正制图时不可能把整个地球拿来投影描绘，而是利用投影的原理，用数学导出地球上经纬度与地图上坐标的对应公式，然后制成对应表拿来制图。因此制图离不开数学，而为制图所开发的各种投影方式也给数学带来了许多新的研究课题，不过我不太想解释这几种投影法的数学模式，我相信各位也没兴趣知道。我只是想告诉各位，根据蜡烛投影游戏让我们明白，所有的投影方式都不是完美的，一定会产生某些形变，你将一个皮球割开想办法将它摊平，不管你怎么割，总是无法将球面服服贴贴的摊成平面，而且还能够不变形。

我们只能根据自己的需要与用途来选择适当的投影地图，因此，看地图常识的第一点：就是先确认自己需要什么样的投影图。

上述三种不同的投影方式所制作的地图适用于不同的用途，首先我要解释圆锥投影图的特性与用途：

圆锥投影图看起来比较像展开的折扇面，以平面的地图来说，它比较接近球形的真实地貌，所有的经度线也像球面一样向极点收缩，如果是圆锥「切面」投影(请参考圆锥投影图左侧)，则每条纬度线虽然是弧线但彼此并不平行，越往左右两端扩张越大(如同蜡烛投影的放大效应)，在这种图上连接两点的直线是大圆弧线，这种图可以拿来当俯览全世界的总图，但是不适合用来导航，因为经度线不平行，纬度线也不平行，无法量取方位与距离。如果要用来导航就要用圆锥「割面」投影图(请参考圆锥图右侧)，这种投影图又称为「兰伯特」投影，是纪念德国绘图家J.H.Lambert发明此种投影法，兰伯特投影图与圆锥「切面」投影图看起来很相似，分辨的方法是看纬度线是否为平行圆弧，「兰伯特」投影图的各纬度圆弧是平行的，因此各纬度间的方位夹角是相同的，在「兰伯特」投影图所画的直线是近似的大圆弧线，但因为可以用来量取方位与距离，因此多用于航空导航图，我们看气象预报时所显示的天气图也大多采用此种投影图。

圆筒投影图的特性与用途：

圆筒投影看起来比较像地球是「平面」的地图，各经度与纬度都是平行的直线，如果投影的基准点是位于赤道的话，则赤道附近地形的形变最小，越往南北极形变越大(如同蜡烛投影的放大效应)，直到南北极变成无限大，因为南北极本来应该收缩为一点的，可是圆筒投影的经度线到了南北极却还是跟赤道的经度线间隔一样，完全没有交点，因此这种投影图在南北极的形变是无限大，通常我们使用这种地图的范围不应该超过南北纬80度，否则形变误差就很离谱了，这种投影的代表是「麦卡托」投影，是纪念荷兰绘图家Gerardus Mercator发明此种投影法，「麦卡托」投影图是使用最广泛的投影图，所有的航海用图都是「麦卡托」投影图，我们日常生活所能接触到的地图也几乎都是此种投影图，只要你看到经度线与纬度线都是平行的格线，这种地图就是「麦卡托」投影图，细心一点的人可能还会发现，在大面积的地图上(例如世界全图或亚洲地图)，经度线的间隔都是相等的，可是纬度线却是越往南北极距离越大，这就是因为圆筒投影的特性所产生的形变，因为放大作用的形变，所以你看到接近高纬度国家的国土面积大得吓人，可别被「麦卡托」投影的放大形变给唬了，想反的，位于赤道附近的地形受形变的影响较小，比较接近真实的大小，因此，各位可知道非洲有多大吗？非洲的面积实际上等于美国、欧盟诸国、中国、印度加上阿根廷等国家面积的总和，吓死人吧，同理也可知，其实前苏联的领土面积也没有地图上显示的那么大。

非洲 > 美国 + 欧盟 + 中国 + 印度 + 阿根廷


所有圆的真实面积都是一样的，有注意到南极大得离谱吗？

「麦卡托」投影图两点之间的直线在真正的球面上是弧线，因此如果你从美国洛杉矶画一条直线到台湾基隆其实是绕远路，这个慨念有点「玄」，我们拿中国的折扇作比喻，折扇展开之后呈现一弧形的扇面，所有的扇骨都集中在底下的轴心上，如果把轴心拆了，让每一条扇骨都平行摆放，圆弧形的扇面就会变成长方形，这就类似「麦卡托」投影图，然后你在长方形的扇面从左到右画一条直线，再把分散的扇骨集中起来装回轴心，把折扇展开之后你会发现刚才你画的直线已经变成弧线了。同样的，如果你在圆弧形的扇面上画一条直线，再把轴心拆了让扇骨平行摊在桌上，刚才所画的直线在变成长方形的扇面上却成了弧线，这个比喻告诉我们，由于「麦卡托」投影的形变，让原本应该在南北极收缩成一点的经度线(扇骨)，变成互相平行的经度线(摊开的扇骨)，在「麦卡托」投影图上两点之间的直线其实并不是最短的距离，反而是个绕远路的距离，地球上两点之间最短的距离是大圆弧(折扇展开时的直线)，请看下面「兰伯特」投影图，从莫斯科到华盛顿的直线，转移到「麦卡托」投影图就成了圆弧线了，所以在距离与方位的测量上也千万别被「麦卡托」投影图给骗了。


兰伯特投影图


麦卡托投影图



平面投影图的特性与用途：
平面投影就好像拿一面镜子贴在地球的某一点上(切面投影)或切割地球的某一平面(割面投影)，镜面将所有的地形平行的投射到平面上，这种镜面反射可以真实的对映出地球的轮廓，它不像前面两种投影是以单点光源投影，因此没有形变或边缘放大的问题，这种投影图大多使用于极区，因为地球的经纬度座标系统在极区并不适用，当你站在北极的中心点，你的头顶就是北方，脚底是南方，可是东方跟西方在哪里呢？地球的周长约4万公里，可是站在北极转个身就等于环绕地球一周了，因此极区的座标系统跟我们熟悉的方格状的座标系统不同，极区的座标是以极点为中心，所有经度线向四周扩散，而纬度线则是同心圆，极区平面投影图就好像我们射飞镖的镖靶一样，你如果有机会去极区的话就会用到这种图。


极区平面投影图


看地图常识的第二点就是选择适当的地图比例尺：

比例尺是什么？比例尺是指图上距离与实际距离的比，称为这幅地图的「比例尺」。比例尺的单位为「公分」，如果地图上一公分的长度等于实际距离一公尺的话，这张地图的比例尺就是1：100，因为一公尺等于100公分，如果地图上一公分的长度等于实际距离一公里的话，这张地图的比例尺就是1：100,000(十万分之一)，因为一公里等于十万公分。因此比例尺的数字越大表示缩小的倍数越大，以数学分数的观念来看比例尺，1：100的比例要大于1：100,000，如果图纸的尺寸是10cm x 10cm，1：100的比例尺可以显示10公尺见方的范围，如果是1：100,000的比例尺，同样大小的图纸则可以显示10公里见方的范围，因此可知大比例尺地图涵盖的范围要比小比例尺涵盖的范围小。大比例尺地图上可以显示很详细的资料例如道路、建筑、公园等，但如果是涵盖范围广大的小比例尺地图，资料就很简略，可能只有主要道路，一个城市仅用一个小圆点表示，因此我们必须根据资讯需要来选择适当比例尺的地图，一般来说，地图比例尺可粗分为下列三种：

• 大比例尺地形图︰1：5,000到1：100,000
• 中比例尺地形图︰1：250,000到1：500,000
• 小比例尺地形图︰1：1,000,000以上

看地图常识的第三点是要搞清楚地图所标示的符号：

地图上可以显示的资料实在太多了，包括地形的高低、河流水系、街道、公路、城市等等，要如何将这么多的资料清楚地标示在一个有限的范围内，而且还要让人容易分辨理解呢？最好的方法就是利用「符号」，利用不同的颜色、线条粗细、形状甚至文字来代表各种资料，地图上有许多符号及颜色几乎是「约定成俗」的被所有地图共同使用，例如：

• 粗细不均匀、弯弯曲曲的蓝色线条代表的是河川
• 一个或多个同心圆标示的是一个地区的都市
• 实心的三角形通常代表的是一个山峰
• 而黑白相间的线条则代表的是铁路

除了地图常用的「共同符号」外，不同用途的地图还会发展出特别符号，通常特殊的符号在地图的角落都会有「图例」说明，所以看到不懂的符号也不用担心，只要对照「图例」的说明就可以了解，有些专业用图的符号系统非常复杂，所以还会专门发行一册「图例」说明来参照使用。一般人用到这种图的机会比较少，所以不需要太担心。看图说话已经成为国际的趋势，由于语言的隔阂，国外很多标示如果仅用文字说明，恐怕很多外国人就傻眼了，一个简单的图示可以胜过千言万语，而且是直觉领会，不需要大脑解读，因此不知各位是否有注意到，公共场所所有的紧急安全标示都是用图示来代替文字的。


看地图常识的第四点就是要确认地图的类型：

一张地图在绘制的时候就已经预设了这张地图的用途，因此地图的投影方式、比例尺大小、资料内容等都是根据其预设的用途来制作的，因为每个人使用地图的目的不同，地图也不可能满足所有人的需求，所以地图是有分类的，而且分类的方式千奇百怪，多到让你想都想不到，我也无法全部介绍，仅就普通地图与专业地图两大类型做些说明。

普通地图
顾名思义，这种地图就是给普通人用的地图，其基本内容包括水系、地貌、土质植被、居住地(城镇)、交通线、境界等六大地理要素。应用很广泛，具有很高的通用性，你拿它用来作什么用途都适合，例如开车指路，都市建设规划，国防、科学、文化、教育等方面都适用，同时也是制作专业地图的地理基本图。普通地图又可分为「平面图」，「地形图」与「地理图」三大类：

• 平面图：这种图通常比例尺甚大，一般大于1：5000，因此涵盖的范围很小，可以不用考虑地球曲率影响(地球很大，在某个小范围内我们可以当它是「平的」)，把小块地区的地球表面当作基准面，将地面上的地物像镜面反射般的投影到图面上，这种图通常作为工程施工和编制详细规划用图。
• 地形图：在平面的图纸上既表示地物的平面位置，又用特定符号表示其地貌形态的地图称为「地形图」。这种图的比例尺一般由1：500至1：1,000,000，因为制图区域较大，因此必须考虑地球曲率影响，需要采用某种地图投影法，按一定的精度要求测绘地物和地貌，而且大量采用「符号」表示地图资料，在生产过程中严格按照测图规范、编图规范和图式进行作业；详细而精确地表示地表的各种要素；其精确度可以供在图上进行量测和野外实地使用。「地形图」是作为国家各项建设的规划设计与施工、军事指挥和科学参考的用图，也是制作其它地图的基本图。「地形图」可说是普通地图的典范图。
• 地理图：以非常概略的形式显示广大范围内，最主要的地理要素和区域重要特征的地图，称「地理图」。地理图的特点是涵盖范围非常大，通常为一个流域、一个国家、一个大洲甚至全世界，比例尺很小，一般为1：100万至1：1000万不等，因为涵盖范围大所以图面上投影形变也较大，不适合在此种图上直接作测量。多用于研究区域的自然地理和社会经济的一般情况，了解其概貌，故又称「一览图」。

专业地图：

专业地图是以普通地图为地理基础，仅着重于显示该专业所需要的资讯，而且非常详尽，但对于非专业必要的资讯则予以简略甚至不显示，例如航海用图，对于水文资料尽量详细表示，但是对于陆上的地貌资料通常是空白。高空气象500毫巴等高图，仅显示气压500毫巴的等高分布图，作为三天期气象预测之用。车用GPS导航图对于街道巷弄、单行道或双向道，甚至连固定式测速照相点都标示得非常清楚，因为它是用来作为道路导航之用，可是除了道路资讯外，其他地形资料就很概略。与老百姓生活有关的捷运路线图，这种图已经高度抽象化，仅表示车站与路线的相互关系，并不注重其真实的位置与距离，这种概念系由英国工程师哈里.贝克（Harry Beck）于1931年首次用于英国伦敦的地铁路线图上。

专业地图用于特定的专业目的，因此对于地图资讯的正确性要求比普通地图高，普通地图一旦出版之后很少再做修正，如有修正也是另外重新发行新版，可是专业地图就必须作经常性的修正，以随时保持地图资料的正确性，避免误导使用人，以航海用图来说，制图机关每周都会发布一次海图修正的册子(Notice to Mariners)，提供使用者修正海图，传统的海图是纸张图，所以修正海图是靠人工剪贴或手绘，现在进入数位海图时代，修正资料也进化为数位电子档，直接存入电子海图档案覆写旧资料即可。



看地图常识的第五点就是了解地图的测量基准面：

其实严格说起来，这第五点已经不算是「常识」了，一般人看地图能有前面四点的认识就已经很厉害了，如果还能讲得出地图测量基准面，保证所有地图专业人士都不敢把你当「外行」。
所有的地图在绘制的时候都会依据下列几个定义，作为大地基准的参考点：

• 1.地球椭圆球体参数：地球非正圆球体，投影时必须考虑地球的真实形状。这个椭球面通常以它的长半轴和短半轴及扁率定义。
• 2.大地基准点：是地图坐标的起算点。通常以适中的三角点作为大地原点，并高精度测出它的天文经纬度、大地高度和到另一个三角点的天文方位角，称「大地基准点」并依此推算出其他三角点的大地坐标。
• 3.地图投影：这个定义在前面已经详细介绍过。
• 4.高度基准面：这个定义比较复杂，有必要多作些说明，所谓高度基准面，就是地图上山有多高、水有多深的起算点，这个基准点俗称「海平面」，不过海平面的高度要如何决定却很复杂，因为海平面不是「平的」，为什么海平面不平呢？这要从影响海平面不平的两个主要因素谈起。一是涨潮、落潮、风暴和气压高低等原素，都会改变海平面高度，二是海底地形的不同，也会影响海平面高度。

很多人都以为地球的海面高度是很平均的，其实不然，全球海面高度也是高低起伏不定的，而且海平面高度可以差到100公尺以上，例如新几内亚的高潮海平面与马尔地夫群岛附近的低潮海平面相差约180公尺。近年来透过卫星遥测技术，我们发现全球海洋有三个较大的隆起区域，一个在澳洲东北部海区，隆起高达76公尺；第二个区域在北大西洋，隆起高度是68公尺；另一个在非洲东南部，隆起区域高为48公尺。另外，地球上还有三个较大的凹陷区域，一个在印度洋上，凹陷深达112公尺；第二个区域在加勒比海，凹陷深度为64公尺；第三个区域在美国加州西岸海域，凹陷深度为56公尺。

19世纪末期，法国人首先试图开凿巴拿马运河，经过实地测量才赫然发现，太平洋的海平面高度竟然比大西洋的海面高度高了将近六公尺，如果真的凿通了那不引发世纪大洪水了，所以巴拿马运河才会采取水闸方式，让船「爬山」过河，以维持两个大洋的海平面高度不变。

解释这么多就是让各位了解，这个「高度基准面」的决定其实是有点复杂的，由于海平面的起伏受潮汐的影响每天都有两次升降，每个月还会有一次大潮与平潮，因此一般来说，水深的基准面是以某标准验潮站「平均低潮面」作为起算基准点，而陆上地形的高度则是以「平均高潮面」作为起算基准点，不过也有例外的情况，要看发行地图的机构如何定义其「高度基准面」。


地图测量基准面以台湾的地图为例，早期台湾地图的大地基准是采用TWD67(Tai-Wan Datum 1997)，根据上述四项地图基准参数定义，TWD67的定义如下：

• 地球椭圆球体参数：采用1967年之国际地球原子参数(Geodetic Reference System 1967，GRS67)。长半径: 6378160公尺 短半径: 6356774.7192公尺 扁率: 1/298.25
• 大地基准点：以南投埔里之虎子山起算，经度＝120°58'25.975”纬度＝23°58'32.340”对头拒山之方位角＝323°57'23.135”
• 地图投影：采用横麦卡托投影，台湾本岛之中央子午线为121度。
• 高度基准面：台湾本岛以基隆平均海平面起算，澎湖以马公平均海平面起算。

直到1997年以前，台湾内政部所核准发行的台湾地图都是采用TWD67作为制图基准。

早期制图的基准面都是各国政府各自为政的，而且都是区域性的，1960年代，美国为了其全球战略需要，开始发展出全球范围的测地基准参数，第一代的全球测地系统为WGS60(World Geodetic System 1960)，后来有WGS66, WGS72, WGS84，参数后面两位数代表该测地系统发表年份，美国海军第一代都普勒卫星定位系统(Navy Navigation Satellite System, NNSS)采用WGS72作为定位座标的标准地理参数，现在大家使用的GPS卫星定位系统则是采用WGS84作为定位座标的标准参数。

为什么要把颇为「专业」的地图测量基准面当作看地图「常识」介绍给大家？因为这年头本来应该是专业人士才使用的GPS卫星定位系统，现在几乎人手一机，但是很多人完全没有看地图的基本「常识」，甚至把GPS的经纬度座标拿来直接描绘在台湾出版的地图上，然后发现误差离谱，就遽下结论认为GPS定位不准，所以我才认为有必要把地图测量基准面拿出来解释一下。

读了我的看地图常识第五点，各位就应该了解，同样的经纬度读数，描绘在不同地图基准面上的位置是不同的，而且还可能相差满远的，会闹笑话的不见得只是一般老百姓，即使是政府机构或专家都有可能摆乌龙，这里举一个2006年发生的笑话：

2006年6月，中兴航空因误闯R48禁航区(总统府周边)，被交通部民航局罚款100万，中兴航空不服气双方对簿公堂，民航局拿出的地图是TWD67的座标基准图，中兴航空的飞机上因为使用GPS卫星定位系统，所以航空公司使用的是WGS84座标基准图，根据飞机上的定位记录，同样的经纬度位置标在WGS84的图上是在万华区祖师庙上空，但画在TWD67的图上就跑到总统府的头顶上了，两个地图基准面相差了926公尺，双方鸡同鸭讲各说各话，都没有注意到两套不同坐标系统的差异问题。看来，没有看地图常识的不仅是普通老百姓的专利，连政府或专业人士都会闹笑话。

近年来随着空间定位技术的日益精进，许多高精度定位应用已经需要更精确之全球性坐标系统，台湾于1997年订定了新的国家坐标系统命名为1997台湾大地基准(TWD97)，其架构系采用国际地球参考框架(International Terrestrial Reference Frame 1994简称为ITRF94) ITRF利用全球测站网之观测资料推算出地心坐标系统，其方位采国际时间局(Bureau International del' Heure简称为BIH)定义在1984年0时之方位。

台湾1997年以后出版的地图已经改采TWD97作为地图测量基准面，这个基准面与WGS84的地图基准面比较类似，因此GPS定位的经纬度位置直接描绘在TWD97的地图上误差不算大，大约只有几公分到几十公分左右，以一般用途的精确度要求，误差几乎可以视为不存在，如果要转移到TWD67的地图上，则经度位置必须向东移826公尺，纬度位置必须向南移210公尺，这样修正之后其误差范围将会缩减到5公尺以内。


结语：

如前所述，地球是圆的，地图是平的，要把一个立体的球形摊成平面本来就是一个不可能的任务，但是为了人类各种作业的需要，制图学家发明了各种测绘技巧与投影技术，想办法让地球摊平在我们的桌面上，但是地图的使用者心中一定要有这个概念，除了非常小面积的「平面图」之外，任何形式的地图都有其「形变」与「误差」的存在。此外，GPS卫星定位所测量出的经纬度不可直接用于WGS84地图测量基准面以外的地图上，这是你看完这篇文章后所必须记住的两个重要心得。

坊间卖的所谓「市区街道图」，大多没有经纬度座标，这种地图是不适合任何「专业」用途的。在有经纬度座标的地图上要量取某段距离时，要读取纬度的长度(直着量纬度差)，不可量经度(横着量经度差)，因为麦卡托投影图会有渐长纬度，越往高纬间隔越大，在赤道附近的纬度，要比纬度80度的长度短很多，因此距离要量纬度差，不可量取经度差，外行人经常犯这个错误。

一个专家在使用地图时，他会先选择适当比例尺的地图，再检查地图的投影方式以确认会有哪些「形变」误差。然后审视地图的发行日期、版号(最好使用最新版或最近发行的地图，使用太老旧的地图心中要有所警惕，资料可能有误)，再看这张地图的小修正记录(在地图的左下角，专业地图都应随时保持最新的修正资料，如果没有修正记录或不完全，使用这张图时也要小心)，最后确认地图测量基准面，如果定位来源是GPS卫星定位，则任何非WGS84基准面的地图都需要作座标修正。

最后，我还是很后悔写这个题目，在我尽量精简内容的努力之下，这篇文章只比上一篇「时间的故事」少了一页而已，下次我会尽量挑选更小的题目，写更短的文章，以节省各位宝贵的时间。


补充：
世界地图常用地图投影知识大全