MATLAB数值积分与微分

8.1 数值积分

8.2 数值微分

8.1 数值积分

8.1.1 数值积分基本原理

    求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[x_i,x_i+1]，i=1,2,…,n，其中x₁=a，x_n+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

8.1.2 数值积分的实现方法

1．变步长辛普生法

基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：

    [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

    例8-1 求定积分。

    (1) 建立被积函数文件fesin.m。

function f=fesin(x)

f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);

    (2) 调用数值积分函数quad求定积分。

[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)

S =

   0.9008

n =

    77

2．牛顿－柯特斯法

基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)

其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。 该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。

例8-2 求定积分。

(1) 被积函数文件fx.m。

function f=fx(x)

f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));

(2) 调用函数quad8求定积分。

I=quad8('fx',0,pi)

I =

    2.4674

例8-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。

调用函数quad求定积分：

format long;

fx=inline('exp(-x)');

[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)

I =

   0.28579444254766

n =

    65

    调用函数quad8求定积分：

format long;

fx=inline('exp(-x)');

[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)

I =

   0.28579444254754

n =

    33

3．被积函数由一个表格定义

在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。

例8-4 用trapz函数计算定积分。

命令如下：

X=1:0.01:2.5;

Y=exp(-X);        %生成函数关系数据向量

trapz(X,Y)

ans =

   0.28579682416393

8.1.3 二重定积分的数值求解

使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：

I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)

该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。

例8-5 计算二重定积分

(1) 建立一个函数文件fxy.m：

function f=fxy(x,y)

global ki;

ki=ki+1;              %ki用于统计被积函数的调用次数

f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);

(2) 调用dblquad函数求解。

global ki;ki=0;

I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)

ki

I =

   1.57449318974494

ki =

    1038

8.2 数值微分

8.2.1 数值差分与差商

8.2.2 数值微分的实现

在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：

DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。

DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。

DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。

例8-6 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。

命令如下：

V=vander(1:6)

DV=diff(V)               %计算V的一阶差分

例8-7 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。

程序如下：

f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');

g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');

x=-3:0.01:3;

p=polyfit(x,f(x),5);          %用5次多项式p拟合f(x)

dp=polyder(p);                 %对拟合多项式p求导数dp

dpx=polyval(dp,x);            %求dp在假设点的函数值

dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;   %直接对f(x)求数值导数

gx=g(x);                         %求函数f的导函数g在假设点的导数

plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');   %作图