RSA 算法

RSA 算法
王汉强

　
1978年就出现了这种算法，它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。
它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi
Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。

RSA的安全性依赖于大数分解。公钥和私钥都是两个大素数（ 大于 100
个十进制位）的函数。据猜测，从一个密钥和密文推断出明文的难度等同于分解两个
大素数的积。

密钥对的产生。选择两个大素数，p 和q 。计算：

n = p * q

然后随机选择加密密钥e，要求 e 和 ( p - 1 ) * ( q - 1 ) 互质。最后，利用
Euclid 算法计算解密密钥d, 满足

e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) )

其中n和d也要互质。数e和
n是公钥，d是私钥。两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任何人知道。

加密信息 m（二进制表示）时，首先把m分成等长数据块 m1 ,m2,..., mi ，块长s
，其中 2^s <= n, s 尽可能的大。对应的密文是：

ci = mi^e ( mod n ) ( a )

解密时作如下计算：

mi = ci^d ( mod n ) ( b )

RSA 可用于数字签名，方案是用 ( a ) 式签名， ( b )
式验证。具体操作时考虑到安全性和 m信息量较大等因素，一般是先作 HASH 运算。

RSA 的安全性。
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因
为没有证明破解
RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成
为大数分解算法。目前， RSA
的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现
在，人们已能分解140多个十进制位的大素数。因此，模数n
必须选大一些，因具体适用情况而定。

RSA的速度。
由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上100倍，无论是软件还是硬
件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

RSA的选择密文攻击。
RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装(
Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上
，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使
用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议
，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息
签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way Hash
Function
对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方
法。 　　

RSA的公共模数攻击。
若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的
情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就
可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：

r * e1 + s * e2 = 1

假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n


另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d
，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无
需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。

RSA的小指数攻击。 有一种提高
RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有所提高。
但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。


RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研
究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为
人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA
的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难
度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学界多数
人士倾向于因子分解不是NPC问题。
RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次
一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits
以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大
数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目前，SET(
Secure Electronic Transaction
)协议中要求CA采用2048比特长的密钥，其他实体使用1024比特的密钥。


DSS/DSA算法

Digital Signature Algorithm
(DSA)是Schnorr和ElGamal签名算法的变种，被美国NIST作为DSS(Digital Signature
Standard)。算法中应用了下述参数：
p：L bits长的素数。L是64的倍数，范围是512到1024；
q：p - 1的160bits的素因子；
g：g = h^((p-1)/q) mod p，h满足h < p - 1, h^((p-1)/q) mod p > 1；
x：x < q，x为私钥 ；
y：y = g^x mod p ，( p, q, g, y )为公钥；
H( x )：One-Way Hash函数。DSS中选用SHA( Secure Hash Algorithm )。
p, q,
g可由一组用户共享，但在实际应用中，使用公共模数可能会带来一定的威胁。签名及
验证协议如下：
1. P产生随机数k，k < q；
2. P计算 r = ( g^k mod p ) mod q
s = ( k^(-1) (H(m) + xr)) mod q
签名结果是( m, r, s )。
3. 验证时计算 w = s^(-1)mod q
u1 = ( H( m ) * w ) mod q
u2 = ( r * w ) mod q
v = (( g^u1 * y^u2 ) mod p ) mod q
若v = r，则认为签名有效。

DSA是基于整数有限域离散对数难题的，其安全性与RSA相比差不多。DSA的一个重要特
点是两个素数公开，这样，当使用别人的p和q时，即使不知道私钥，你也能确认它们
是否是随机产生的，还是作了手脚。RSA算法却作不到。