数学分类、 数学专业分类 及 三次数学危机

本文简要概述数学的广义分类，目前国内高校的数学专业划分 以及数学发展史上的三次危机。

 

1 数学的广义分类

 

从纵向划分：

　　1、初等数学和古代数学：这是指17世纪以前的数学。主要是古希腊时期建立的欧几里得几何学，古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术，欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等。

　　2、变量数学：是指17--19世纪初建立与发展起来的数学。从17世纪上半叶开始的变量数学时期，可以分为两个阶段：17世纪的创建阶段（英雄时代）与18世纪的发展阶段（创造时代）。

　　3、近代数学：是指19世纪的数学。近代数学时期的19世纪是数学的全面发展与成熟阶段，数学的面貌发生了深刻的变化，数学的绝大部分分支在这一时期都已经形成，整个数学呈现现出全面繁荣的景象。

　　4、现代数学：是指20世纪的数学。1900年德国著名数学家希尔伯特（D. Hilbert）在世界数学家大会上发表了一个著名演讲，提出了23个预测和知道今后数学发展的数学问题（见下），拉开了20世纪现代数学的序幕。

 

 

注：

希尔伯特的23个问题——

　　在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23 个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作 用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。 现在只列出一张清单：

　　（1）康托的连续统基数问题。

　　（2）算术公理系统的无矛盾性。

　　（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

　　（4）两点间以直线为距离最短线问题。

　　（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。

　　（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

　　（7）某些数的超越性的证明。

　　（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。

　　（9）一般互反律在任意数域中的证明。

　　（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？

　　（11）一般代数数域内的二次型论。

　　（12）类域的构成问题。

　　（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。

　　（14）某些完备函数系的有限的证明。

　　（15）建立代数几何学的基础。

　　（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

　　（17）半正定形式的平方和表示。

　　（18）用全等多面体构造空间。

　　（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？

　　（20）研究一般边值问题。

　　（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

　　（22）用自守函数将解析函数单值化。

　　（23）发展变分学方法的研究。

 

 

从横向划分：

　　1、基础数学（英文：Pure Mathematics）。又称为理论数学或纯粹数学，是数学的核心部分，包含代数、几何、分析三大分支，分别研究数、形和数形关系。

　　2、应用数学。简单地说，也即数学的应用。

　　3、计算数学。研究诸如计算方法（数值分析）、数理逻辑、符号数学、计算复杂性、程序设计等方面的问题。该学科与计算机密切相关。

　　4、概率统计。分概率论与数理统计两大块。

      5、运筹学与控制论。运筹学是利用数学方法，在建立模型的基础上，解决有关人力、物资、金钱等的复杂系统的运行、组织、管理等方面所出现的问题的一门学科。

 

 

2 数学专业分类

 

A 本科分类

 

一般开设数学系 ，下分 数学与应用数学 和 信息与计算科学 专业； 有些院校会在经济类管理类以及工科院系开设 统计数学 金融数学 工程数学 甚至生物数学 物理数学 等等专业，但数量很少。

 

B 硕士生专业分类

 

一般开设 ：

基础数学，计算数学，概率论与数理统计，应用数学，运筹学与控制论， 信息与信号处理 ；

 

此外，很多院校会根据自己的学校特色与优势，开始与之相关的专业，比如林业院校会开设林学相关的专业，工商类的会开设金融相关的专业等等。

 

C 博士生专业分类

 

 基础数学，计算数学，概率论与数理统计，应用数学，运筹学与控制论 ，金融数学与保险精算

 

 

 

3 三次数学危机

 

     （1.毕达哥拉斯 是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出 的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕 索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导 致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然 被小小的√2的存在而推翻了！这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。由两千多年后的数学 家们建立的实数理论才消除它。

 

　　（2.第二次数学危机 导源于微积分工具的使用。贝克莱一针见血地指出牛顿在对x^n(n是正整数)求导时既把△x不当做0看而又把△x当作0看是一个严 重的自相矛盾，从而几乎使微积分停滞不前，后来还是柯西和魏尔斯特拉斯等人提出无穷小是一个无限向0靠近，但是永远不等于0的变量，这才把微积分重新稳固 地建立在严格的极限理论基础上，从而消灭的这次数学危机！

 

　　（3. 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念， 我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！ 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

　　罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集 合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于 S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。 可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。

　　危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。比如ZF公理系统。这一问题的解决只现在还在进行中。罗素悖论的根源在于集合论里没有对集合的限制，以至于让罗素能构造一切集合的集合这样“过大”的集合，对集合的构造的限制至今仍然是数学界里一个巨大的难题！

 

 

敬以此文献给诸多的数学爱好者以及从业者、研究者。

 

Gentle Yang 2009.06 Shenzhen,China

评论

1 楼 bluky999 2011-11-26  

一般人们认为比较难学的几门课，分别是：
－ 本科阶段的 ：   实变函数与泛函分析，数理方程
－硕博士阶段的：  微分几何，算子代数

以及一些其他的话题： 算数代数几何，上同调