数据信息中的逆序对

逆序对

逆序对是指在一个元素序列中，按照一定的大小比较方法，序列中任两个元素大小顺序颠倒的组合。

设 A[1..n] 是一个包含 n 个不同数的数组 . 如果在 i<j 的情况下 , 有 A[i]>A[j], 则 (i,j) 就称为 A 中的一个逆序对 .

对于一个给定待排序序列 , 其中的逆序对的发现与还原正是排序所要解决的事情 . 排序过程中一般是先发现逆序对再将其还原 , 由于这些让我们联想到了排序性能提高的一些方法 .

1. 一次还原操作 , 使得多组逆序对还原 .

eg: 共有 21 对 共有 10 对

7,6,5,4,3,2,1--(1 与 7 互换 )-->1,6,5,4,3,2,7

一次还原处理了 11 对

2. 一次对换操作后 , 尽量不要或者少产生额外的逆序对

eg: 共有 16 对 共有 11 对

7,6,5,1,3,2,4--(4 与 7 互换 )-->4,6,5,1,3,2,7

一次还原处理了 5 对 , 另外又多产生了 (4,1) 一对

在我观察的比较类排序中 , 快速排序体现了 1 却缺失了 2; 合并排序恰恰相反体现了 2 却缺失了 1.

关于逆序对的相关统计算法代码参见

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 */
package mypackage.algorithm.unit02;

public class Inversion ...{
    
    private static int tot;
    
    /** *//**
     *InsertionSort
     *The time limit of this sort is O(n^2)
     *<strong>O(n^2)</strong>
     *@param  element will be sorted
     */
    private static <Type extends Comparable> void insertionSort(Type element[])...{
        for(int j=1;j<element.length;j++)...{
            Type    key    =    element[j];
            int i    =    j-1;
            
            while( (i>=0)&&(element[i].compareTo(key)>0))...{
                element[i+1]    =    element[i];
                tot++;
                i--;
            }
            element[i+1]    =    key;
        }
    }
    /** *//**
     *Merge used in the mergeSort
     *<strong>O(n)</strong>
     *@param element Type[] the elements to be merged
     *@param p int the begin of the  first elements
     *@param q int the end of the first elements
     *@param r int the end of the second elements
     */
    private static <Type extends Comparable> void merge(Type element[],int p,int q,int r)...{
        int nl    =    q-p+1;
        int nr    =    r-q;
        
        Type[] lElement,rElement;
        lElement    =    (Type[])java.lang.reflect.Array.newInstance(element.getClass().getComponentType(),nl);
        rElement    =    (Type[])java.lang.reflect.Array.newInstance(element.getClass().getComponentType(),nr);
                
        for(int i=0;i<nl;i++)...{
            lElement[i]    =    element[p+i];
        }
        for(int i=0;i<nr;i++)...{
            rElement[i]    =    element[q+i+1];
        }
        
        int i=0,j=0;
        int k    =    p;
        while((i<nl)&&(j<nr))...{
            if(lElement[i].compareTo(rElement[j])<=0)...{
                element[k]    =    lElement[i];
                i++;
            }else...{
                element[k]    =    rElement[j];
                j++;
                tot+=nl-i;
            }
            k++;
        }
        
        while(i<nl)...{
            element[k]    =    lElement[i];
            i++;
            k++;
        }
        while(j<nr)...{
            element[k]    =    rElement[j];
            j++;
            k++;
        }
    }
    
    /** *//**
     *mergeSort
     *Sort the elements by the compareTo method
     *<strong>O(nlgn)</strong>
     *@param  element Type[] that will be sorted
     *@param p the begin of the list will be sorted
     *@param r the end of the list will be sorted
     */
    private static <Type extends Comparable> void mergeSort(Type element[],int p,int r)...{
        if(p<r)...{
            int q    =    (p+r)/2;
            mergeSort(element,p,q);
            mergeSort(element,q+1,r);
            merge(element,p,q,r);
        }
    }
    private static <Type extends Comparable> void mergeSort(Type element[])...{
        mergeSort(element,0,element.length-1);
    }
    
    /** *//**
     * Count the inversion number by O(nlgn)
     * @param <Type> inversion number type
     * @param element inversion number list
     * @return count number of inversion
     */
    public static <Type extends Comparable>  int countMerge(Type element[])...{
        tot=0;
        mergeSort(element.clone());
        return tot;
    }

    /** *//**
     * Count the inversion number by O(n^2)
     * @param <Type> inversion number type
     * @param element inversion number list
     * @return count number of inversion
     */
    public static <Type extends Comparable> int countInsertion(Type element[])...{
        tot=0;
        insertionSort(element.clone());
        return tot;
    }
    /** *//**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) ...{
        Integer[] a = ...{4,6,5,1,3,2,7};
        System.out.println(Inversion.countMerge(a));
    }

}

 

最后让我们牢记 :

摘《李开复：算法的力量 》算法并不局限于计算机和网络

举一个计算机领域外的例子：在高能物理研究方面，很多实验每秒钟都能几个 TB 的 数据量。但因为处理能力和存储能力的不足，科学家不得不把绝大部分未经处理 的数据丢弃掉。可大家要知道，新元素的信息很有可能就藏在我们来不及处理的数据里面。同样的，在其他任何领域里，算法可以改变人类的生活。例如人类基因的 研究，就可能因为算法而发明新的医疗方式。在国家安全领域，有效的算法可能避免下一个 911 的发生。在气象方面，算法可以更好地预测未来天灾的发生，以拯 救生命。

所以，如果你把计算机的发展放到应用和数据飞速增长的大环境下，你一定会发现；算法的重要性不是在日益减小，而是在日益加强。

谢谢大家。

参考书籍

《 Inroduction to Algorithms 》 Thomas H.Cormen,Charles E.Leiserson,Ronald L. Rivest,Clifford Stein. 机械工业出版社

《数据结构》殷人昆，陶永雷，谢若阳，盛绚华 清华大学出版社

《算法艺术与信息学竞赛》刘汝佳，黄亮 清华大学出版社

《李开复：算法的力量》 http://www.ieee.org.cn/dispbbs.asp?boardID=60&ID=31651