集合和类型系统

集合的概念可以说是非常一般的。很多人都知道。就算不知道，我们也可以在非常短的时间内给他灌输这个概念。为了避免后面饶舌，我现在就先实施灌输：）
集合就是一堆东西。东西就是直觉能区分的个体（康托尔语）。这一堆东西中的每一个都叫做集合的元素。集合中元素的个数叫做集合的阶。全集就是包含全体东西的集合。空集就是没有东西的集合。似乎很简单直觉，其中比较绕的东西我就不提了（如果有兴趣，想想全集的概念，或者想想理发师悖论也行：0)，免得大家抓狂。另外，我们还要引入子集的概念。一个集合中，我们取出其中一部分元素（可以是全部，也可以是0个）组成的集合，叫做原集合的子集。子集的阶可以等于原集合，也可以小于。小于的叫做真子集。空集是所有集合的子集，是所有非空集合的真子集。多个集合中的元素，全部拿到一块，把一样的扔了，形成的那个集合叫做着多个集合的交集。多个集合的元素，把相同的取一份留着，其余的全扔了，形成的集合叫做并集。
在基于类的面向对象语言中，一个类定义一个概念，该类的所有对象组成的集合表示这个概念的外延。简单的说，我们认为一个类定义一个集合。
子类（派生类）定义一个父类（基类）所定义集合的真子集。如果我们规定我们的类体系是单根体系，那么可以认为那个最上层的类规定了一个全集。一般的OO语言都有一个null或者类似的对象。它表示空集的元素。由于空集是所有其他非空集合的真子集，所以null是所有集合的成员。总之，我们可以说，继承就是规定一个集合的子集。
向上转型的自动性不会导致类型不安全。原因在前面的对比中已经非常明显了，真子集的元素本来就是原始集合的元素的一部分，所以这个转换是安全的。而向下转型的不安全性也昭然若揭。所以，很少有语言支持自动的向下转型的。null可以给所有类型的对象赋值的原因是空集是所有集合的子集。在这儿要批评一下Java的不一致性，Java中有一个运算符是instanceof，它的左操作数是一个对象，有操作数是一个类型，返回一个布尔类型的对象，如果对象是这个类型的对象，就返回true，否则，返回false。在这儿还一切都正常。可是，一旦我们的左边对象是个null，就不正常了，按照我们上面的分析，如果左边是null，右边无论什么类型，都应该返回true，可Java恰恰相反，返回false。当然是不一致了。不过我们也很明确的知道，这个不一致不会导致太大的问题，我们记住这个特例就是了。这也说明了理论上的问题未必就会导致实际的问题。从理论上讲，理论和实际是一回事。从实践上说，理论是理论，实践跟理论是两码事。
好了，这就是我们原始的OO类型系统，这是一个典型的分类系统。首先是全集，然后分成某些子集，然后再分解，这就是所谓的分类。传统的OO类型系统的基本概念就是分类。
可是，你立即会感觉到有一点不对劲，不安全。是啊，人们对事物的认识总是发展变化的，怎么能保证原来的分类系统就能适应现在的想法呢？更要命的是：我们只能不断的取某些界定的集合的子集，这怎么成？这会导致我们想从两个集合中各取其一部分变得不可能。这时候，一个叫做接口的概念出现了。在类型系统上，它不算什么大事情，它也是个规定了一个概念，它的外延也是一个集合。但是，最要命的事情马上就要出来了。它们允许多继承。回想一下，继承是规定一个集合的子集，多继承呢？规定多个集合的子集？这是个什么概念？规定多个集合的交集（朋友说是着多个集合的笛卡尔积的子集，我觉得更符合逻辑，不过这个子是什么限定呢？另外，这样会引入一个不是原始集合同级的元素）。这是个什么级别的跳跃？初看起来没有什么。仔细想想会下一大跳，妈呀，这个乱呀。是的，至此，清晰的严格的树状分类模型消失了，我们的类型系统变成可以适应认识发展水平的类型系统了，可以横跨任意多个原来规定好的集合，汲取我们想要的那些元素。可以说，一个接口就定义了一个维度。