浮点数

http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html

 

1.浮点数与定点数

在计算机系统的发展过程中，业界曾经提出过许多种实数的表达方法，比较典型的有相对于浮点数（Floating Point Number）的定点数（Fixed Point Number）。在定点数表达法中，其小数点固定地位于实数所有数字中间的某个位置。例如，货币的表达就可以采用这种表达方式，如 55.00 或者 00.55 可以用于表达具有 4 位精度，小数点后有两位的货币值。由于小数点位置固定，所以可以直接用 4 位数值来表达相应的数值。

但我们不难发现，定点数表达法的缺点就在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。因此，最终绝大多数现代的计算机系统都采纳了所谓的浮点数表达法。

 

2.浮点数表示法

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。
（3）2^E表示指数位。

举例来说，十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。

十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

 

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

 

3.浮点数表示法中的特别规定

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。

M

前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

E

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

 

然后，指数E还可以再分成三种情况：

（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

 

4.精度

常说的java中单精度浮点数float的有效数字8位，double的有效数字为16位，这是怎么回事呢。float的长度为32位，所以M是23+1位。所以M能够表达的最大值为2^24-1=16777215。所以我们说的有效数字8位指的是十进制，其实就是二进制有效数字24位。不过其实这个十进制有效数字8位的说法也不准确，因为一旦数字超过16777215就不能保证准确表达。比如：

float a = 16777215;
float b = 16777216;
float c = 16777217;
float d = 33554432;
float e = 335522222;
System.out.println(a);//1.6777215E7
System.out.println(b);//1.6777216E7
System.out.println(c);//1.6777216E7
System.out.println(d);//3.3554432E7
System.out.println(e);//3.35522208E8

 解释：（下文中M值把前面默认1带上）

a:实际值为 1111 1111 1111 1111 1111 1111  ，  M值为 1111 1111 1111 1111 1111 1111  ， E为23+127：1001 0110  ， 最终值为 1.1111 1111 1111 1111 1111 1111 * 2^23

b:实际值为 1 0000 0000 0000 0000 0000 0000  ， M截取前24位为 1000 0000 0000 0000 0000 0000  ， E为24+127： 1001 0111  ,  最终值为 1.0 * 2^24

c:实际值为 1 0000 0000 0000 0000 0000 0001  ， M截取前24位为 1000 0000 0000 0000 0000 0000  ， E为24+127： 1001 0111   ,  最终值为 1.0 * 2^24

d:实际值为 10 0000 0000 0000 0000 0000 0000  ， M截取前24位为 1000 0000 0000 0000 0000 0000  ， E为25+127： 1001 1000   ,  最终值为 1.0 * 2^24

d:实际值为 1 0011 1111 1111 1010 1001 1010 1110  ， M截取前24位为 1001 1111 1111 1101 0100 1101  ， E为28+127:   1001 1011   ,  最终值为 1.001 1111 1111 1101 0100 1101  * 2^28