二叉树的一些性质

树的介绍

    1. 树的定义

    树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

    把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
    (01) 每个节点有零个或多个子节点；
    (02) 没有父节点的节点称为根节点；
    (03) 每一个非根节点有且只有一个父节点；
    (04) 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

 

2. 树的基本术语

    若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

    结点的度：结点拥有的子树的数目。
    叶子：度为零的结点。
    分支结点：度不为零的结点。
    树的度：树中结点的最大的度。

    层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
    树的高度：树中结点的最大层次。
    无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
    有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
    森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

二叉树的介绍

    1. 二叉树的定义

    二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

    2. 二叉树的性质

    二叉树有以下几个性质：TODO(上标和下标)
    性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)。
    性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)。
    性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。
    性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

 

2.1 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)

    证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
            (01) 当i=1时，第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
            (02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
                   下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}"即可。
                    由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}。
                故假设成立，原命题得证！

 

2.2 性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)

    证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
               20+21+…+2k-1=2k-1
               故原命题得证！

 

2.3 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)

    证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

 

2.4 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

    证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一。
             (等式一) n=n0+n1+n2
　        另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
             (等式二) n=n1+2n2+1
            由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！

 

3. 满二叉树，完全二叉树和二叉查找树

    3.1 满二叉树

        定义：高度为h，并且由2{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。

3.2 完全二叉树

    定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

3.3 二叉查找树

    定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。

 

    在二叉查找树中：
    (01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
    (02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
    (03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
    (04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

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