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无穷大的数都一样大吗?
通常来说,每当提到无穷大,我们都会认为是无穷无尽,不可数的。但具体是多大,我们确是没有概念的。
那么,对于无穷大的数:
- 有大小之分吗?
- 如果有,可以比较吗?
- 如果可以比较,比较无穷大数有意义吗?
我们知道,物理世界最小的单位可以描述为点,或者说用点来表示。一条直线由无数个点组成,一个面由无数条线组成,一个立体由无数个面组成。
那么问题来了,线、面、体上面的点数相同吗?如何比较?
"所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数,究竟哪个大些?",这个问题有意义吗?著名数学家康托尔(Georg Cantor)首先思考了这个问题。
无穷大数可以比较吗
针对上面的一系列问题,我们必须得想办法对两个无穷大数进行比较。但是,对于无穷大数,我们是无法写出来的。因此,通过统计总数进行对比的方法显然是行不通的,因为我们根本无法对无穷大数进行计数。
那么,我们可不可以通过一一配对的方法来比较大小呢?针对有限的数量,通过一一配对的方法,尽管会花费很长时间,但却能够比较出大小。然而,如果用来比较无穷大数,一个个配对那可能永远也没有结束的时候。看来,这个原始而愚蠢的办法,也无法比较两个无穷大数。
慢着,虽然我们无法知道无穷大数的极限或总数,但是如果我们从任一无穷大数中抽取一个数,总能在另一个无穷大数中找到与之匹配的数,反之亦成立。那么,我们可以认为这两者是相等的。
这就是康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法:给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩,那么说明它们是相等的。如果有一组还有些数没匹配出去,那么这组的数量就大一些。
无穷大数有大小之分吗
整数与奇数、偶数比较
在这个表中,每一个整数、每一个奇数与每一个偶数都能够一一相对应。显然,整数、奇数与偶数的数目一样大。
这个结论看似荒谬,因为奇数和偶数只不过是整数的一个子集。
但是,请不要忘了,我们是在与无穷大打交道。在无穷大的世界里,部分可能等于全部。我们不能单单依靠印象,而是要转变思维。
分数与整数比较
由此可见,所有分数的数目和所有整数的数目也是相等的。
我们知道,分数可以化成无穷循环小数。如2/3=0.66666…,3/7=0.428571428571428571…。所以,无穷循环小数的数目也和整数的数目相等。
线段、平面的点数比较
先抄两张图
线段、平面上的点数比较
线段比较
假设有两条不同长度的线段,令其相交,如图6所示。
通过AB上任一点作BC的平行线,该平行线总是能与AC相交。也就是说,AB上的任意一点,总能在AC上找到相应的点。反之亦然。可见,这两条线段上的点数是相等的。
事实上,按照这个规则,不管多长的线段,上面的点数都是一样的。
线段与正方形比较
假设有线段AB,长度为1,正方形CDEF,边长也为1,如图7所示。取线段上某个点为0.75120386…,我们把这个数按照奇偶位分开,组成两个数:0.7108…和0.5236…。以这两个数,分别在正方形的水平和垂直方向量度,便得到一个点。这个点就是原来线段上那个点的对偶点。
反过来,假设正方形上的一个点,对应位置描述为:0.7108…和0.5236…。分别按照奇偶位组成一个数0.75120386…,这个数在线段上对应的点就是相应的对偶点。
利用对偶点的方法,我们同样可以证明,立方体内所有的点数和正方形或线段上的所有点数相等。(提示:把线段上的点分成三部分)
线段、正方形和立方体内点数的多少与它们的大小无关。
几个数学概念
首先,看看两张不言自明的图片:
复数
实数
有理数是整数和分数的集合,整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。
通过上一点分数与整数的比较可知,有理数和整数的数量也是相同的。
无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两个整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。
无理数举例
有理数是可数集,无理数是不可数集。
无理数比有理数大得多。
实数和数轴上的点一一对应。有理数是稠密的,在实数中无论取多小的范围都会存在有理数。但有理数不是连续的,任意两个有理数之间一定有无理数存在。所以有理数在数轴上表示不是一条直线,把无理数插进去以后才变成直线。
一些结论
对于无穷大的认识,我们应该转变思维。
无穷大数的性质与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样。
- 在无穷大的世界里,部分可能等于全部。
- 无穷大也有大小之分。
数量一样大
- 所有整数、分数、奇数和偶数的数目。(无穷大数级别0,阿莱夫0)
- 线、面、体上所有几何点的数目。(无穷大数级别1,阿莱夫1)
- 所有几何曲线的数目。(无穷大数级别2,阿莱夫2)
参考
《从一到无穷大》
维基百科
百度百科
乔治·伽莫夫
乔治·伽莫夫(George Gamow,1904-1968),美籍俄裔物理学家、宇宙学家、科普作家,热大爆炸宇宙学模型的创立者,也是最早提出遗传密码模型的人。
乔治·伽莫夫
格奥尔格·康托尔
格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845-1918),出生于俄国的德国数学家(波罗的海德国人)。他创立了现代集合论,是实数系以至整个微积分理论体系的基础,还提出了势和良序概念的定义;康托尔确定了在两个集合中的成员,其间一对一关系的重要性,定义了无限且有序的集合,并证明了实数比自然数更多。
格奥尔格·康托尔
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基数
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