无穷大的数都一样大吗？

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无穷大的数都一样大吗？

 

通常来说，每当提到无穷大，我们都会认为是无穷无尽，不可数的。但具体是多大，我们确是没有概念的。

那么，对于无穷大的数：

• 有大小之分吗？
• 如果有，可以比较吗？
• 如果可以比较，比较无穷大数有意义吗？

我们知道，物理世界最小的单位可以描述为点，或者说用点来表示。一条直线由无数个点组成，一个面由无数条线组成，一个立体由无数个面组成。

那么问题来了，线、面、体上面的点数相同吗？如何比较？

"所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数，究竟哪个大些？"，这个问题有意义吗？著名数学家康托尔（Georg Cantor）首先思考了这个问题。

无穷大数可以比较吗

针对上面的一系列问题，我们必须得想办法对两个无穷大数进行比较。但是，对于无穷大数，我们是无法写出来的。因此，通过统计总数进行对比的方法显然是行不通的，因为我们根本无法对无穷大数进行计数。

那么，我们可不可以通过一一配对的方法来比较大小呢？针对有限的数量，通过一一配对的方法，尽管会花费很长时间，但却能够比较出大小。然而，如果用来比较无穷大数，一个个配对那可能永远也没有结束的时候。看来，这个原始而愚蠢的办法，也无法比较两个无穷大数。

慢着，虽然我们无法知道无穷大数的极限或总数，但是如果我们从任一无穷大数中抽取一个数，总能在另一个无穷大数中找到与之匹配的数，反之亦成立。那么，我们可以认为这两者是相等的。

这就是康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法：给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，那么说明它们是相等的。如果有一组还有些数没匹配出去，那么这组的数量就大一些。

无穷大数有大小之分吗

整数与奇数、偶数比较

在这个表中，每一个整数、每一个奇数与每一个偶数都能够一一相对应。显然，整数、奇数与偶数的数目一样大。

这个结论看似荒谬，因为奇数和偶数只不过是整数的一个子集。

但是，请不要忘了，我们是在与无穷大打交道。在无穷大的世界里，部分可能等于全部。我们不能单单依靠印象，而是要转变思维。

分数与整数比较

由此可见，所有分数的数目和所有整数的数目也是相等的。

我们知道，分数可以化成无穷循环小数。如2/3=0.66666…，3/7=0.428571428571428571…。所以，无穷循环小数的数目也和整数的数目相等。

线段、平面的点数比较

先抄两张图

线段、平面上的点数比较

线段比较

假设有两条不同长度的线段，令其相交，如图6所示。

通过AB上任一点作BC的平行线，该平行线总是能与AC相交。也就是说，AB上的任意一点，总能在AC上找到相应的点。反之亦然。可见，这两条线段上的点数是相等的。

事实上，按照这个规则，不管多长的线段，上面的点数都是一样的。

线段与正方形比较

假设有线段AB，长度为1，正方形CDEF，边长也为1，如图7所示。取线段上某个点为0.75120386…，我们把这个数按照奇偶位分开，组成两个数：0.7108…和0.5236…。以这两个数，分别在正方形的水平和垂直方向量度，便得到一个点。这个点就是原来线段上那个点的对偶点。

反过来，假设正方形上的一个点，对应位置描述为：0.7108…和0.5236…。分别按照奇偶位组成一个数0.75120386…，这个数在线段上对应的点就是相应的对偶点。

利用对偶点的方法，我们同样可以证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所有点数相等。（提示：把线段上的点分成三部分）

线段、正方形和立方体内点数的多少与它们的大小无关。

几个数学概念

首先，看看两张不言自明的图片：

复数实数

有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

通过上一点分数与整数的比较可知，有理数和整数的数量也是相同的。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两个整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。

无理数举例

有理数是可数集，无理数是不可数集。

无理数比有理数大得多。

实数和数轴上的点一一对应。有理数是稠密的，在实数中无论取多小的范围都会存在有理数。但有理数不是连续的，任意两个有理数之间一定有无理数存在。所以有理数在数轴上表示不是一条直线，把无理数插进去以后才变成直线。

一些结论

对于无穷大的认识，我们应该转变思维。

无穷大数的性质与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样。

• 在无穷大的世界里，部分可能等于全部。
• 无穷大也有大小之分。

数量一样大

• 所有整数、分数、奇数和偶数的数目。（无穷大数级别0，阿莱夫0）
• 线、面、体上所有几何点的数目。（无穷大数级别1，阿莱夫1）
• 所有几何曲线的数目。（无穷大数级别2，阿莱夫2）

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参考

• 《从一到无穷大》

• 维基百科

• 百度百科

乔治·伽莫夫

乔治·伽莫夫（George Gamow，1904－1968），美籍俄裔物理学家、宇宙学家、科普作家，热大爆炸宇宙学模型的创立者，也是最早提出遗传密码模型的人。

乔治·伽莫夫

格奥尔格·康托尔

格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845－1918），出生于俄国的德国数学家（波罗的海德国人）。他创立了现代集合论，是实数系以至整个微积分理论体系的基础，还提出了势和良序概念的定义；康托尔确定了在两个集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。

格奥尔格·康托尔

 

 

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