【算法入门】深度优先搜索(DFS)

深度优先搜索(DFS)

【算法入门】

郭志伟@SYSU：raphealguo(at)qq.com

2012/05/12

1.前言

深度优先搜索（缩写DFS）有点类似广度优先搜索，也是对一个连通图进行遍历的算法。它的思想是从一个顶点V0开始，沿着一条路一直走到底，如果发现不能到达目标解，那就返回到上一个节点，然后从另一条路开始走到底，这种尽量往深处走的概念即是深度优先的概念。

你可以跳过第二节先看第三节，:)

2.深度优先搜索VS广度优先搜索

2.1演示深度优先搜索的过程

还是引用上篇文章的样例图，起点仍然是V0，我们修改一下题目意思，只需要让你找出一条V0到V6的道路，而无需最短路。

图2-1寻找V0到V6的一条路（无需最短路径）

假设按照以下的顺序来搜索：

1.V0->V1->V4，此时到底尽头，仍然到不了V6，于是原路返回到V1去搜索其他路径；

2.返回到V1后既搜索V2，于是搜索路径是V0->V1->V2->V6,，找到目标节点，返回有解。

这样搜索只是2步就到达了，但是如果用BFS的话就需要多几步。

2.2深度与广度的比较

（你可以跳过这一节先看第三节，重点在第三节）

从上一篇《【算法入门】广度/宽度优先搜索(BFS)》中知道，我们搜索一个图是按照树的层次来搜索的。

我们假设一个节点衍生出来的相邻节点平均的个数是N个，那么当起点开始搜索的时候，队列有一个节点，当起点拿出来后，把它相邻的节点放进去，那么队列就有N个节点，当下一层的搜索中再加入元素到队列的时候，节点数达到了N2，你可以想想，一旦N是一个比较大的数的时候，这个树的层次又比较深，那这个队列就得需要很大的内存空间了。

于是广度优先搜索的缺点出来了：在树的层次较深&子节点数较多的情况下，消耗内存十分严重。广度优先搜索适用于节点的子节点数量不多，并且树的层次不会太深的情况。

那么深度优先就可以克服这个缺点，因为每次搜的过程，每一层只需维护一个节点。但回过头想想，广度优先能够找到最短路径，那深度优先能否找到呢？深度优先的方法是一条路走到黑，那显然无法知道这条路是不是最短的，所以你还得继续走别的路去判断是否是最短路？

于是深度优先搜索的缺点也出来了：难以寻找最优解，仅仅只能寻找有解。其优点就是内存消耗小，克服了刚刚说的广度优先搜索的缺点。

3.深度优先搜索

3.1.举例

给出如图3-1所示的图，求图中的V0出发，是否存在一条路径长度为4的搜索路径。

图3-1

显然，我们知道是有这样一个解的：V0->V3->V5->V6。

3.2.处理过程

3.3.对应例子的伪代码

这里先给出上边处理过程的对应伪代码。

/**
 * DFS核心伪代码
 * 前置条件是visit数组全部设置成false
 * @param n 当前开始搜索的节点
 * @param d 当前到达的深度，也即是路径长度
 * @return 是否有解
 */
bool DFS(Node n, int d){
	if (d == 4){//路径长度为返回true，表示此次搜索有解
		return true;
	}

	for (Node nextNode in n){//遍历跟节点n相邻的节点nextNode，
		if (!visit[nextNode]){//未访问过的节点才能继续搜索

			//例如搜索到V1了，那么V1要设置成已访问
			visit[nextNode] = true;

			//接下来要从V1开始继续访问了，路径长度当然要加

			if (DFS(nextNode, d+1)){//如果搜索出有解
				//例如到了V6，找到解了，你必须一层一层递归的告诉上层已经找到解
				return true;
			}

			//重新设置成未访问，因为它有可能出现在下一次搜索的别的路径中
			visit[nextNode] = false;

		}
		//到这里，发现本次搜索还没找到解，那就要从当前节点的下一个节点开始搜索。
	}
	return false;//本次搜索无解
}

3.4.DFS函数的调用堆栈

此后堆栈调用返回到V0那一层，因为V1那一层也找不到跟V1的相邻未访问节点

此后堆栈调用返回到V3那一层

此后堆栈调用返回到主函数调用DFS(V0,0)的地方，因为已经找到解，无需再从别的节点去搜别的路径了。

4.核心代码

这里先给出DFS的核心代码。

/**
 * DFS核心伪代码
 * 前置条件是visit数组全部设置成false
 * @param n 当前开始搜索的节点
 * @param d 当前到达的深度
 * @return 是否有解
 */
bool DFS(Node n, int d){
	if (isEnd(n, d)){//一旦搜索深度到达一个结束状态，就返回true
		return true;
	}

	for (Node nextNode in n){//遍历n相邻的节点nextNode
		if (!visit[nextNode]){//
			visit[nextNode] = true;//在下一步搜索中，nextNode不能再次出现
			if (DFS(nextNode, d+1)){//如果搜索出有解
				//做些其他事情，例如记录结果深度等
				return true;
			}

			//重新设置成false，因为它有可能出现在下一次搜索的别的路径中
			visit[nextNode] = false;
		}
	}
	return false;//本次搜索无解
}

当然了，这里的visit数组不一定是必须的，在一会我给出的24点例子中，我们可以看到这点，这里visit的存在只是为了保证记录节点不被重新访问，也可以有其他方式来表达的，这里只给出核心思想。

深度优先搜索的算法需要你对递归有一定的认识，重要的思想就是：抽象！

可以从DFS函数里边看到，DFS里边永远只处理当前状态节点n，而不去关注它的下一个状态。

它通过把DFS方法抽象，整个逻辑就变得十分的清晰，这就是递归之美。

5.另一个例子：24点

5.1.题目描述

想必大家都玩过一个游戏，叫做“24点”：给出4个整数，要求用加减乘除4个运算使其运算结果变成24，4个数字要不重复的用到计算中。

例如给出4个数：1、2、3、4。我可以用以下运算得到结果24：

1*2*3*4=24；2*3*4/1=24；(1+2+3)*4=24；……

如上，是有很多种组合方式使得他们变成24的，当然也有无法得到结果的4个数，例如：1、1、1、1。

现在我给你这样4个数，你能告诉我它们能够通过一定的运算组合之后变成24吗？这里我给出约束：数字之间的除法中不得出现小数，例如原本我们可以1/4=0.25，但是这里的约束指定了这样操作是不合法的。

5.2.解法：搜索树

这里为了方便叙述，我假设现在只有3个数，只允许加法减法运算。我绘制了如图5-1的搜索树。

图5-1

此处只有3个数并且只有加减法，所以第二层的节点最多就6个，如果是给你4个数并且有加减乘除，那么第二层的节点就会比较多了，当延伸到第三层的时候节点数就比较多了，使用BFS的缺点就暴露了，需要很大的空间去维护那个队列。而你看这个搜索树，其实第一层是3个数，到了第二层就变成2个数了，也就是递归深度其实不会超过3层，所以采用DFS来做会更合理，平均效率要比BFS快（我没写代码验证过，读者自行验证）。

6.OJ题目

题目分类来自网络：

sicily：10191024103410501052115311711187

pku：108811761321141615641753249230833411

7.总结

DFS适合此类题目：给定初始状态跟目标状态，要求判断从初始状态到目标状态是否有解。

8.扩展

不知道你注意到没，在深度/广度搜索的过程中，其实相邻节点的加入如果是有一定策略的话，对算法的效率是有很大影响的，你可以做一下简单马周游跟马周游这两个题，你就有所体会，你会发现你在搜索的过程中，用一定策略去访问相邻节点会提升很大的效率。

这些运用到的贪心的思想，你可以再看看启发式搜索的算法，例如A*算法等。

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本文为原创，转载请注明出处：raphealguo@CSDN

作者：raphealguo(at)qq.com

时间：2012/05/12

C语言实现：

#include<iostream>
#include<malloc.h>
using namespace std;

#define maxNum 100 //定义邻接举证的最大定点数
int visited[maxNum];//通过visited数组来标记这个顶点是否被访问过，0表示未被访问，1表示被访问

//图的邻接矩阵表示结构
typedef struct
{
	char v[maxNum];//图的顶点信息
	int e[maxNum][maxNum];//图的顶点信息
	int vNum;//顶点个数
	int eNum;//边的个数
}graph;

void createGraph(graph *g);//创建图g
void DFS(graph *g);//深度优先遍历图g

void dfs(graph *g,int i)
{
	//cout<<"顶点"<<g->v[i]<<"已经被访问"<<endl;
	cout<<"顶点"<<i<<"已经被访问"<<endl;
	visited[i]=1;//标记顶点i被访问
	for(int j=0;j<g->vNum;j++)
	{
		if(g->e[i][j]!=0&&visited[j]==0)
			dfs(g,j);
	}
}

void DFS(graph *g)
{
	int i;
	//初始化visited数组，表示一开始所有顶点都未被访问过
	for(i=0;i<g->vNum;i++)
		visited[i]=0;
	//深度优先搜索
	for(i=0;i<g->vNum;i++)
		if(visited[i]==0)//如果这个顶点为被访问过，则从i顶点出发进行深度优先遍历
			dfs(g,i);
}

void createGraph(graph *g)//创建图g
{
	cout<<"正在创建无向图..."<<endl;
	cout<<"请输入顶点个数vNum:";
	cin>>g->vNum;
	cout<<"请输入边的个数eNum:";
	cin>>g->eNum;
	int i,j;

	//输入顶点信息
	//cout<<"请输入顶点信息："<<endl;
	//for(i=0;i<g->vNum;i++)
	//	cin>>g->v[i];

	//初始画图g
	for(i=0;i<g->vNum;i++)
		for(j=0;j<g->vNum;j++)
			g->e[i][j]=0;

	//输入边的情况
	cout<<"请输入边的头和尾"<<endl;
	for(int k=0;k<g->eNum;k++)
	{
		cin>>i>>j;
		g->e[i][j]=1;
		g->e[j][i]=1;
	}
}

int main()
{
	graph *g;
	g=(graph*)malloc(sizeof(graph));
	createGraph(g);
	DFS(g);
	int i;
	cin>>i;
	return 0;
}

/*
输入：
正在创建无向图...
请输入顶点个数vNum:10
请输入边的个数eNum:9
请输入边的头和尾
0 1
0 3
1 4
1 5
3 6
4 8
5 2
6 7
8 9
*/