Python机器学习快速入门系列4： 线性回归

网上找的机器学习的资料对于新手来说往往很难， 经常一上来就甩你一堆像外星文一样的公式方程，然后就把你满腔的学习热情给无情浇灭， 让你觉得是不是该回去学下数学再好好做人。笔者也是一样屡屡被虐，才略有领悟， 回过头来看，发现其实机器学习入门本来可以不这么艰难。 Python机器学习快速入门系列文章，希望能够以简单易懂、通俗而有趣的方式，把大家带入Machine Learning的世界。

 

1.猜数游戏

 

在正式进入线性回归之前，先玩一个猜数的游戏：

 

x= 1 ,         3,      8,        9,        15       16

y= 2,       6.3,      15,      21,       ?         ?

 

依据X和Y的关系，   我们猜x=15,  y可能会对应30左右，     x=16，y可能会对应32左右

但我们会什么不会猜100， 或者其他更大的数，  因为肉眼判断的Y大概是X的2倍， 虽然有点误差， 但是整体方向上应该错不了。

 

y=2*x

 

这就是一个简单的线性回归， 你找到了一个系数2， 对于任何要预测的目标值，  你用输入值乘以系数2，  得到预测的结果。

 

 

2. 升级猜数游戏

 

现在我们加大猜数的难度， 把x这组数据替换成二维的数组， 也就是说， x=[0.5，1] 对应y是1， 求x=[6,15] 对应的y取值 

 

        0.5       1.4     3.7      4         6         6.1

x=   1 ,         3,       8,        9,        15       16

        

y=   2,         6.3,      15,      21,       ?         ?

 

这就是典型的线性回归问题， 我们先暂时不回答， 相信看到后面就能解答。

 

 

3. 线性回归数学定义

 

在点阵里面找1条直线， 计算所有点到这条直线的距离， 如果距离之和最短， 那么这条直线就是需要的结果。对于需要预测的y的值， 找到x在直线上所对应的y值， y=x * w  就是预测结果(w就是直线)

 

 

因此， 如果需要解答猜数游戏， 那么首先就要找到 w 的值。

 

这种场景下， 计算w的值， 前辈们已经推导出了公式:

 

假设x和y都是矩阵， 那么这个系数w叫做回归系数， 取值为：

 

w = (x^{T *} x)^-1 *x^T * y

 

至于为什么公式是这么写的， 我们不需要操心， 就像计算圆形的面积是是( πr² )一样不需要我们再推导一遍。

 

通俗翻译过来就是：（下面这段话看不懂赶紧复习系列2）

• x矩阵的转置乘以x矩阵
• 对这个新矩阵的结果取逆矩阵
• 逆矩阵再乘以x矩阵的转置
• 最后乘以y矩阵。

 

 

4. 回归系数的Python实现

这堆数学概念看起来超复杂， 但是用python来实现， so easy！

 

import numpy as np

 

#x矩阵

xMatrix=np.mat([            
   [0.5, 1   ],
   [1.4  3   ],
   [3.7, 8   ],
   [4,   9   ] 
] )          

#y矩阵
yMatirx=np.mat([
   [2  ],
   [6.3],
   [15 ],
   [21 ]
])

#实现公式

w=(xMatrix.T * xMatrix).I * (xMatrix.T * yMatrix)

 

 

5. 使用回归系统进行预测

 

把需要预测的值整理成矩阵

newxMatrix=np.mat([

   [6,    15   ],
   [6.1  16   ] 

])

 

#用回归系数计算

predictYMatrix=newxMatrix * w

 

print predictYMatrix

 

得到结果： 47.71369295 ，  56.79128631   就是那2个猜出来的y值

 

 

6. 绘图查看数据分布和预测结果

 

import matplotlib.pyplot as plt

 

newxMatrix=np.mat([
   [0.5, 1   ],
   [1.4, 3   ],
   [3.7, 8   ],
   [4,   9   ] ,
   [6   ,  15   ],
   [6.1 ,  16   ]
])

 

#红色为预测值

newyMatrix=np.mat([
   [2  ],
   [6.3],
   [15 ],
   [21 ],

   [47.7 ],                
   [56.7 ],

])

 

#把newxMatrix转换成一维数组， 每个值除以该列的平均值（绘图表现方便，无其他意义）

xMeanMatrix= (newxMatrix[:,0]/newxMatrix[:,0].mean() + newxMatrix[:,1]/newxMatrix[:,1].mean())

 

plt.figure()   #创建图表
x=xMeanMatrix[:,0].flatten().A[0]
y=newyMatrix[:,0].flatten().A[0]
plt.scatter(x,y)  #画点
plt.plot(x,y)     #画线   

 

 

（图中不是直线，是因为把二维矩阵合并成了一维来绘图了）

 

 

7. SKLearn无脑实现线性回归

 

sklearn是个机器学习非常好的包， 好到使用者根本不需要了解什么算法， 算法特性，公式等。 上手直接预测：

 

步骤：

• 输入x, y数据训练
• 输入newX， 输出预测的newY值

 

import sklearn

 

#x矩阵

xMatrix=np.mat([            
   [0.5, 1   ],
   [1.4  3   ],
   [3.7, 8   ],
   [4,   9   ] 
] )          

#y矩阵
yMatirx=np.mat([
   [2  ],
   [6.3],
   [15 ],
   [21 ]
])

 

#预测输入xp矩阵

xpMatrix=np.mat([
   [6   ,  15   ],
   [6.1 ,  16   ]
])
classifier=LinearRegression()
classifier.fit(xMatrix,yMatrix)

yPredict=classifier.predict(xpMatrix)
print yPredict

 

计算得出   51.66894737  ，   62.92736842   ， 虽然和我们自己实现预测的值47 和 56 有些差异， 但大方向是基本一致， 也算相互验证。