牛顿开方法的算法及其原理

其实牛顿开方法是牛顿迭代法在开平方上的应用，牛顿迭代法同时也能快速逼近很多方程的解，自然可以用来开任意平方。

求，即求的正根。

更一般地，求，即求的正根。

注意牛顿迭代法只能逼近解，不能计算精确解。不过实际应用中，我们都不要求绝对精确的解，例如计算器得出结果也不需要给出无限位，只需要给出十几位小数就足够了，所以牛顿迭代法被广泛用在各种科学计算中。

【牛顿迭代法】

假设方程 在  附近有一个根，那么用以下迭代式子：
 
依次计算、、、……，那么序列将无限逼近方程的根。

牛顿迭代法的原理很简单，其实是根据f(x)在x0附近的值和斜率，估计f(x)和x轴的交点，看下面的动态图：

【用牛顿迭代法开平方】

令：
 
所以f(x)的一次导是：

牛顿迭代式：

随便一个迭代的初始值，例如，代入上面的式子迭代。

例如计算，即a=2。



……

计算器上可给出

【用牛顿迭代法开任意次方】

求的递推式是：