Java与IEEE754浅浅谈

Java与IEEE754浅浅谈

作者：大飞

 

• 怎么用二进制来表示小数呢？

       假设我们要用二进制来表示小数5.5，怎么搞？

              按照常规思路，首先用二进制表示一下5，是101，那5.5岂不就是101.101(呵呵哒...)。

              我们来看下分解过程，5=4+1，也就是1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰，即101。按照这个思路，0.101这个二进制表示的是1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3，也就是0.625。

 

              所以，5.5表示成二进制就可以是101.1(并不是101.101)。

              再明确下这个规则：

              1···11.11···1  (中间的点表示小数点)

              1*2^k + ··· + 1*2¹ + 1*2⁰ + . + 1*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-k

 

       这种表示法也叫作定点表示法。

 

 

       然而，我们也会发现定点表示法的一些问题：

              首先，我们用定点表示法表示下0.1这个十进制小数试试看，

              0.1 = 0*2^-1 + 0*2^-2 + 0*2^-3 + 1*2^-4 (0.0625) + 1*2^-5 (0.03125) + 0*2^-6 + 0*2^-7 + 1*2^-8 (0.00390625) + 0*2^-9(0.001953125) + ... fuck!!!!

              有编码长度限制的话，这种表示方式无法精确的表示0.1，只能随着编码长度的增加而越来越近似。

              其次，这种表示方法没办法有效的表示很大的数，比如5 * 2¹⁰⁰这个数(二进制表示的话，后面100个0怎么表示，就算双精度的话也才64个bit)。

 

 

• IEEE浮点表示法。

       上面我们看了定点表示法，也大概了解了定点表示法存在的问题：1.不精确。2.无法有效表示大数。

 

       这一节来看一下IEEE浮点表示法，这种表示法也是系统中普遍采用的表示小数的方式。

 

       先看一下浮点表示标准形式： V = (-1)^s×M×2^E     (可以当成一个公式来记!)

 

       那具体怎么表示呢？假设是32位的话(比如Java的float、单精度)，格式如下：

       s          e                                f

       1 - 11111111 - 11111111111111111111111 

       s:1bit     e:8bit      f:23bit     

 

       64位的话(比如Java的double、双精度)，格式如下：  

       s            e                                                                f

       1 - 11111111111 - 1111111111111111111111111111111111111111111111111111        

       s:1bit     e:11bit      f:52bit     

 

       知道了格式和公式，两者怎么对应起来呢？

       根据格式中e值的不同，编码会分为三种情况：

       1.规格化的值：

              当e中所有bit的值既不全是0，又不全是1，这种情况就属于规格化的值。

              规格化的值下

              M=1+f，f是f所包含的bit组成的二进制小数。

              E=e-Bias，e是e包含的bit组成的无符号数；Bias=2^k-1-1，k是e的bit个数，比如32位下，k=8，64位下，k=11。

       2.非规格化的值：

              当e中所有bit的值全是0，这种情况就属于非规格化的值。

              非规格化的值下

              M=f，f是f所包含的bit组成的二进制小数。

              E=1-Bias，Bias=2^k-1-1，k是e的bit个数，比如32位下，k=8，64位下，k=11。

       3.特殊值：

              当e中所有bit的值全是1，f中所有bit的值全是0，表示无穷大。

              当e中所有bit的值全是1，f中所有bit的值不全是0，表示NaN(Not a Number)。

 

       可见，IEEE浮点表示方式，虽然解决了表示大数的问题(通过公式能看出可以表示M×2^E这种形式的数)，但还是没有解决精确问题。

       

• Java中怎么表示浮点数。

       Java中提供了long和double来表示单精度浮点和双精度浮点的基本类型，就是按照IEEE754规范来的。也提供了对应的包装类。

 

       我们按照上面的IEEE规则来看一下，就看看5.5这个数。

       首先我们用单精度来表示5.5这个数：

    float f = 5.5f;

       然后我们需要得到这个数二进制的格式，也就是上面IEEE格式，Float包装类中提供了floatToIntBits进行支持。 

    int intBits = Float.floatToIntBits(f);

       最后我们需要将这个intBits以二进制的形式打印出来看看。 

    System.out.println(Integer.toBinaryString(intBits));

       输出如下： 

    1000000101100000000000000000000

       注意这里的打印结果会将bit位中前面的0省略(把符号位给省略了)，我们补上0，然后调整成IEEE格式。

 

       0 10000001 01100000000000000000000

       注意到，这符合上面提到的规格化的值，套用一下规则：

       s = 0

       M=1+f，M=1.375

       E=e-Bias，e=129，Bias=2^8-1-1=127，所以E=2

       V = (-1)^s×M×2^E  =  (-1)⁰×1.375×2² = 1×1.375×4 = 5.5

       结果就是5.5 对上了！！！

 

       最后来看个特殊值的例子： 

	public static void main(String[] args) {
		int intBits1 = 0x7f800000;// 0 11111111 00000000000000000000000
		float f1 = Float.intBitsToFloat(intBits1);
		int intBits2 = 0xff800000;// 1 11111111 00000000000000000000000
		float f2 = Float.intBitsToFloat(intBits2);
		System.out.println("f1="+f1+",f2="+f2);
		int intBits3 = 0xff800001;// 1 11111111 00000000000000000000001
		float nan = Float.intBitsToFloat(intBits3);
		System.out.println("nan="+nan);
	}

       输出如下： 

    f1=Infinity,f2=-Infinity
    nan=NaN

       OK！可以自己多写几种例子来加深下印象。

 

       如果之前不了解这部分的话，可以对Java中float和double的内存布局有一点点的直观认识了。

 

 

       参考资料：《深入理解计算机系统》