查找算法--树表查找之B树

        前面介绍的BST(二叉排序树)和AVL(平衡二叉树)都是二叉树，用作内部查找的数据结构，即被查找的数据集不大，可以放在内存中。这篇博客将主要介绍B树,是非二叉树，用作外部查找的数据结构，其数据存放在外存中。 B－树又称为多路平衡查找树，是一种组织和维护外存文件系统非常有效的数据结构。具体讲解之前，有一点，强调一下：B-树，即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是一种一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。特此说明。

 

B－树

  B－树中所有结点的孩子结点最大值称为B－树的阶，通常用m表示，从查找效率来说，要求m>=3.

一棵m阶B－树应满足的特性为：

    1.树中每个结点最多含有m个孩子结点，即至多有m-1个关键字;

    2.除根结点外，其它每个结点至少有[m / 2]个孩子结点，即至少有[m/2]-1个关键字。[m/2]是取大于m/2的最小整数;

    3.若根结点不是叶子结点，则至少有两个孩子结点；

    4.每个结点的结构为：

   

其中n为结点关键字个数，除根节点外，其它结点的n>=[m/2]-1&&n<=m-1;关键字是升序排列，即k1<k2<k3....。Pi指针所指的结点关键字大于等于Ki，小于Ki+1;

 

    5.所有叶子结点都在同一层上，即B－树是所有平衡因子均为0的多路查找树。

 

上面的特性看起来晕晕的，下面用一个实例来分析。

引用典型的3阶B－树如下

 

看根结点A，其结点结构应为

 

    阶是孩子结点的最大值，所以每个结点至多有3个孩子(分支)，从结点结构来看，指针域比关键字多1，所以至多有3-1=2个关键字。

 

当阶树m=2时，就是二叉B树，即平衡二叉树

 

 

B－树的查找

 

来模拟下查找文件29的过程：

    (1) 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作1次】

    (2) 此时内存中有两个文件名17，35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现17<29<35，因此我们找到指针p2。

    (3) 根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作2次】

    (4) 此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现26<29<30，因此我们找到指针p2。

    (5) 根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作3次】

    (6) 此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

 

 B-树的插入

 

重点判断是否满足n<=m-1。

 

插入方法步骤：

a.利用前述的B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到，则说明该关键字已经存在，直接返回。否则查找操作必失败于某个最低层的非终端结点上。

 

b.判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1。若满足，则说明该结点还有空位置，直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足，说明该结点己没有空位置，需要把结点分裂成两个。

 

分裂的方法是：生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过（m-1），则要再分裂，再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

例如：

 

B-树的删除

B-树特性，除根结点外，其它所有结点的关键字n>=[m/2]-1&&n<=m-1;

 

分三种情况删除：

  a.如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>=[m/2]，说明删去该关键字后该结点仍满足B-树的定义。这种情况最为简单，只需从该结点中直接删去关键字即可。

 

  b.如果被删关键字所在结点的关键字个数n等于[m/2]-1，说明删去该关键字后该结点将不满足B-树的定义，需要调整。

   调整过程为：如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目大于[m/2]-1。则可将右（左）兄弟结点中最小（大）关键字上移至双亲结点。而将双亲结点中小（大）于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

 

   c.如果左右兄弟结点中没有“多余”的关键字，即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目均等于[m/2]-1。这种情况比较复杂。需把要删除关键字的结点与其左（或右）兄弟结点以及双亲结点中分割二者的关键字合并成一个结点,即在删除关键字后，该结点中剩余的关键字加指针，加上双亲结点中的关键字K_i一起，合并到A_i（即双亲结点指向该删除关键字结点的左（右）兄弟结点的指针）所指的兄弟结点中去。如果因此使双亲结点中关键字个数小于ceil(m/2)-1，则对此双亲结点做同样处理。以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。