11088 整数划分问题

11088 整数划分的扩展问题（必做）

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题型: 编程题   语言: C++;C;VC;JAVA

Description

下面有整数划分问题扩展出的多个题例：
（1）正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数
（2）正整数n划分为不超过m个正整数之和的划分数
（3）正整数n划分为若干正奇整数之和的划分数
（4）正整数n划分为互不相同正整数之和的划分数
约定：
整数划分无顺序，比如对7划分，认为2 2 3和3 2 2和2 3 2为同一种划分。

输入格式

两个数n和m，中间空格相连。n和m都不超过100。

如输入7 3
则：最大加数不超过3的划分为：(3 3 1)(3 2 2)(3 2 1 1)(3 1 1 1 1)(2 2 2 1)(2 2 1 1 1)(2 1 1 1 1 1)(1 1 1 1 1 1 1)，共8种。
不超过3个正整数的划分为：(7)(6 1)(5 2)(5 1 1)(4 3)(4 2 1)(3 3 1)(3 2 2)，共8种。
若干正奇数的划分为：(7)(5 1 1)(3 3 1)(3 1 1 1 1)(1 1 1 1 1 1 1)，共5种。
互不相同正整数的划分为：(7)(6 1)(5 2)(4 3)(4 2 1)，共5种。

输出格式

四个数，中间空格相连，分别为上面四个题例的结果。其中m参数只和题例（1）和（2）有关，与（3）（4）无关。

输入样例

7 3

输出样例

8 8 5 5

提示

 

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

       n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

       例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

 

        ---------------------------------------------------------------------

                                           （一）

        ---------------------------------------------------------------------

       根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

       （1）当 n = 1 时，不论m的值为多少（m > 0 )，只有一种划分即 { 1 };

        (2)  当 m = 1 时，不论n的值为多少，只有一种划分即 n 个 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };

        (3)  当 n = m 时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。

              因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

        (4) 当 n < m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n, n);

        (5) 但 n > m 时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含 m 的情况，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 n - m，可能再次出现 m，因此是（n - m）的 m 划分，因此这种划分

                     个数为 f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 划分，个数为 f(n, m - 1);

              因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

 

         综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

         f(n, m) =      1;                                        ( n = 1 or m = 1 )

                            f(n, n);                                 ( n < m )

                            1+ f(n, m - 1);                      ( n = m )

                            f(n - m, m) + f(n, m - 1);       ( n > m )

        ---------------------------------------------------------------------

                                           （二）

        ---------------------------------------------------------------------

思想： 转化为子集和问题： 集合{1,2,…,n}，挑选若干正整数，使之和为n，这也是一个背包装物品问题。

设F(I,J)： 表示挑选集合前I个，使之和为J的方式数。

递推关系： F(I,J) = F(I-1,J) + F(I-1,J-I)， 第I个不挑的方式数 + 挑第I个的方式数

递推边界： F(1,1)=1, F(1,k)=0(k>1), F(I,k)=0(k<0), F(I,0)=1(I>0)

 

#include <iostream>

 

using namespace std;

int m,n;

int f1(int n,int m)

{

    if(n<1||m<1) //不为负数

        return 0;

    if(m==1||n==1)  //1的m划分 或 n的1划分 都是 1

        return 1;

    if(n==m)  // 含n是 1 不含的是 n 的 n-1 划分

        return 1+f1(n,n-1);

    if(n<m)  // 最大也是n 即 n 的 n 划分

        return f1(n,n);

    // 含 m 的是 n-m 的 m 划分 因为 n-m中可能再次出现m

    // 不含 m 的是 n 的 m-1 划分

        return f1(n-m,m)+f1(n,m-1);

}

 

int f2(int n,int m)

{

    if(m==0) //F(I,0)=1(I>0)

        return 1;

    if(m<0) //F(I,k)=0(k<0)

        return 0;

    if(n==1&&m==1) //F(1,1)=1

        return 1;

    if(n==1&&m>1)  //F(1,k)=0(k>1)

        return 0;

 

//设F(I,J)： 表示挑选集合前I个，使之和为J的方式数。

// F(I,J) = F(I-1,J) + F(I-1,J-I)， 第I个不挑的方式数 + 挑第I个的方式数

    return f2(n-1,m)+f2(n-1,m-n);

}

int main()

{

    cin >> n >> m;

 

    cout << f1(n,m) <<" "<< f1(n,m) << " ";

    cout << f2(n,n) <<" "<< f2(n,n) << endl; //m参数与（3）（4）无关

    return 0;

}

 #include <iostream>

 

using namespace std;

int m,n;

int f1(int n,int m)

{

    if(n<1||m<1) //不为负数

        return 0;

    if(m==1||n==1)  //1的m划分 或 n的1划分 都是 1

        return 1;

    if(n==m)  // 含n是 1 不含的是 n 的 n-1 划分

        return 1+f1(n,n-1);

    if(n<m)  // 最大也是n 即 n 的 n 划分

        return f1(n,n);

    // 含 m 的是 n-m 的 m 划分 因为 n-m中可能再次出现m

    // 不含 m 的是 n 的 m-1 划分

        return f1(n-m,m)+f1(n,m-1);

}

 

int f2(int n,int m)

{

    if(m==0) //F(I,0)=1(I>0)

        return 1;

    if(m<0) //F(I,k)=0(k<0)

        return 0;

    if(n==1&&m==1) //F(1,1)=1

        return 1;

    if(n==1&&m>1)  //F(1,k)=0(k>1)

        return 0;

 

//设F(I,J)： 表示挑选集合前I个，使之和为J的方式数。

// F(I,J) = F(I-1,J) + F(I-1,J-I)， 第I个不挑的方式数 + 挑第I个的方式数

    return f2(n-1,m)+f2(n-1,m-n);

}

int main()

{

    cin >> n >> m;

 

    cout << f1(n,m) <<" "<< f1(n,m) << " ";

    cout << f2(n,n) <<" "<< f2(n,n) << endl; //m参数与（3）（4）无关

    return 0;

}