模式分类笔记 --行列式

先写一些关于线性代数的东西吧，人长大了记性越来越差了，因为同一时间里脑袋里面装的东西太多了，女朋友把我的一些书卖了，有点可惜，只能盼望以后用不着。

 

在线性代数的书本里，行列式这块是很有用的，最初是为解方程发展起来，用来确定线性方程组解的个数，以及形式，很多东西你以方程的角度来看就好理解的多。但是书本上在推介行列式从2阶，3阶到N阶的时候我觉得纯粹是为了应用而应用，以后来人的眼光去看这个推广的出现，很多细节都忽略。想想先人在作出开创性研究的时候思考及验证问题的思路是最重要的，且定是严谨的，找寻的过程中你看到历史发展的过程中很多东西并不是如书本组织后呈现给我们的顺序一样，循着那轨迹会更加增加你的困惑。

 

引入行列式的记号是为了方便的表示和计算方程的组的解。

a1 x + b1 y=c1     或记成向量形式  x [a1] + y [b1] = [c1]            两边都与OB'做内积，                    

a2 x + b2 y=c2                                      [a2]       [b2]    [c2]            OA*OB' = [a1] * [b2] = a1b2 - a2b1

                                                                                                                            [a2]   [-b1]

  

 

S = a1b2 - a2b1 = OA * OB' = |OA||OB|cos<AOB' = |OA||OB|cos(<AOB - TT/2) = |OA||OB|sin<AOB = 平行四边形有向面积

 

或二阶更简单的话，代数消元法， x = (c1b2 - c2b1) / (a1b2 - a2b1), y = (a1c2 - a1c1) / (a1b2 - a2b1)

 

这时引入记号[a1 b1] = a1b2 - a2b1, 这里是二阶乃至n阶行列式的第一推动力，虽然显而易见 。

                         [a2 b2]

三阶行列式书上喜欢一笔带过，消元，就得到了，哪是那么轻易回事。问题研究可以从特例入手，但通性的论证随之而来。

 

a11x+a12y+a13z=m1

a21x+a22y+a23z=m2

a31x+a32y+a33z=m3

 

我们的目的是消元。 a12X+a22Y+a32Z=0  (记消元过程中上三式需要的乘数,例如我们现在要解x)

                                     a13X+a23Y+a33Z=0

                                     a11X+a21Y+a31Z=解x所对应的分母(三阶行列式的值?)

 

两个方程解三个变量？我们现在需要解X，Y，Z出来。这里你可以看出来行列式子按行(列)展开的起因(展开比n阶行列式早出现)。

从解方程的角度来看，X必是a23,a23,a32,a33的线性组合，让我们回过头看看二阶行列式，可以认为a1，a2乘以的都是一阶行列式的值，那么a2还需要乘以-1，若同样以双下标来表示的话，那么与下标和的奇偶有关。那么我们可以尝试递归的思考，不然怎么推广呢，呵呵，如果X是 (-1)*(-1) [a22 a23]的值，那么同理应用到Y,Z,发现果然可以。这样的话，四

                                           [a32 a33]

阶行列式也有了递归定义的来源，或许这是书本上N阶行列式的发现推导线路吧。

 

其实为什么X简单的是二阶行列式的值呢，当我们以向量的形式来看待初始的三元方程时，若以向量形式表示，例如

xA + yB + zC = r

当等式两边同时乘以BXC时，就变成xA*(BXC) = r *(BXC),这便是我们所想要的结果。(BXC) = [a₂ b₃ − a₃ b₂ , a₃ b₁ − a₁ b₃ , a₁ b₂ − a₂ b_1] . 从向量运算的分配率计算而来。

 

为什么BXC的值如上所示，BXC因为它是一个向量，对应于笛卡尔坐标系的话，以坐标的形式表示相当便利，不用考虑任何角度的问题，表示成这个形式正好是我们所需要的X，Y，Z的值，且对应的是二阶行列式的值，：）。

 

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Note：

在欧几里德空间里，加法对应平移，乘法用来定义旋转，那么向量积这种形式其实找不到合理的解释，有人说的好，数学是有趣的，但也是盲目的，一切的一切出现都不是无目的的。向量积的引入从物理中的力矩而来，力矩的方向定义又是从角速度方向的定义而来，因为角速度只有两个方向，顺时针，逆时针，且力矩是有关物体转动的一个量，又是向量，所以定义方向为垂直于力与力臂确定的平面。

 

线性真是一个特好的性质。