谷歌（Google）与无穷小

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根据有关资料，谷歌（Google)的意思是一个很大的数字，即在1之后加上100个零。也就是说，Google=10000000000,0000000000,0000000000,0000000000,0000000000,
0000000000,0000000000,0000000000,0000000000,0000000000。由此可见，Google的“倒数”很接近于我们的“无穷小”观念，特别是对孩子们而言。

在公元前200多年前，阿基米德（Archimedes)是一位大数学家（兼思想家）。他指出：自然数是无穷的，用我们现代的术语来说，即自然数集合N是“无穷集”。也就是说：

N = {1,2,3,4,......}

我们要问：花括号{}中最右边的这6个小点”......”代表什么意思呢？这里面的文章就多得去了。比如，我们设想一个集合的集合U：

U={A┃A ⊆N }

但是，空集合Ǿ∉U（这是基本要求），而且，如果A⊆ B，B⊆ N，则必有B∈ U（对包含运算⊆的封闭性），同时，如果A与B都属于U（都是U的元素），则其交集合A∩B∈U（即U对交集运算∩的封闭性）。那么，这个集合的集合U就叫做自然数集上的一个“滤器”（Filter)，注意：U具有两个”封闭性“。这个概念是布尔巴基学派的贡献。所谓“超滤器”（Ultrafilter)就是最大的滤器，即：A与N/A（A的补集合）两者只有有一个属于U。超滤器在构造无穷小时起着关键的作用。为什么这样说呢？比如{an}与{bn}是两个无穷序列，假若序号n在某超滤器元素A上处处相等，我们就把它们归于一“类”。由此，如下序列：

{0,0,0,......,1,......}

就代表一个正无穷小的”序列类“，因为，在无穷个零之后出现一个“1”，这个序列类必在零序列类与任何{...,1,......}序列类之间，即：

{0,0,0,......} < {0,0,......,1,0,......} < {...,1,......}

我们要注意：记号“...”与“......”具有本质的不同。这里的中心意思是：

0 < 无穷小 < 任何正实数

为什么“超滤器”起关键作用呢？大家知道，朋友的朋友未必是朋友。但是，基于超滤器进行序列的“分类”就不会发生这种现象，序列甲等价于序列已，序列已等价于序列丙，则序列甲必然与序列丙等价。实际上，在数学中构造无穷小是容易的，但是，把无穷小引入严格的数学推理，麻烦就大了。为什么呢？且听下回分解也。

说明：两无穷序列“等价”只要其序号（也叫“足码”）在超滤器的某个元素（A）上的相应“序列值”处处相等即可。等价序列的项”几乎处处相等“，在此，“几乎处处”的意思很微妙。实际上，无穷小与无穷大（Infinite）密切相关。