无穷小是怎样复活的？

有人不愿意进入《微积分阅览室》，担心里面有“鬼”（逻辑矛盾）。这种担心完全是不必要的。为什么？

给定两个实数序列，除了有限项之外（forall but finitely manyn），其它的项均相等，称为“等价”。这种分类方式非常精确，能够分出“超实数”类。实际上，哥西（Cauchy）等价类太粗了，把一切无穷小（序列）都归于“零”类。J.Keisler在《基础微积分后记》的最后一页，终于点明了“主题”（所谓“交底”）。他说：“The mistake of Leibniz and his contemporaries was to identify all the infinitesimals with zero. This leads to an immediate contradiction because dy/dx becomes 0/0. In the present treatment the equivalence classes of

<1,1/2,1/3, ……, 1/n, ……>

and

<0,0, ……0, ……>

are different hyperreal numbers. They are not equal but merely have the same standard part, zero. This avoids the contradiction and once again makes infinitesimals a mathematically sound method.”

上述英文段落的原意，说得直截了当，意思清清楚楚。由此可见，在《微积分阅览室》里面怎么会有“鬼”呢？原来，实数与超实数都是序列的“等价类”，彼此彼此，半斤八两，不分高低贵贱，谁也不要说谁的“坏话”。

如今，无穷小真的来了，进入了广大学子的脑壳。那么，物理、化学、生物，天文、地理等教科书都需要改写，麻烦可大了。有人想把无穷小重新装回潘多拉”魔盒“，可是无穷小袖珍电子书已经上传到互联网，如同癌症扩散，到了后期，谁也治不了。

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