简单排序算法的时间下界

插入排序

插入排序是最简单的排序算法之一，对于N个元素的序列，需要进行N-1次的插入来完成排序。插入排序的算法：

（1）对于位置P，0到P-1位置上的元素已经是有序的，P从1开始；

（2）将P指向的元素放到[0,P]正确的位置，这样0到P位置上的元素也是有序的。

插入排序确实很简单，不需要过多的介绍，直接用一个示例来演示其过程，待排序列：2 4 6 1 3 5 总共有6个元素，所以需要5趟排序，P从1开始

（1）2是一个有序序列

（2）P=1，将4插入到正确位置，排序后：2 4

（3）P=2，将6插入到正确位置，排序后：2 4 6

（4）P=3，将1插入到正确位置，排序后：1 2 4 6

（5）P=4，将3插入到正确位置，排序后：1 2 3 4 6

（6）P=5，将5插入到正确位置，排序后：1 2 3 4 5 6

插入排序代码：

void insertsort(int *A,int n) {
    int i,j;
    int x;
    for(i = 1; i < n; i++) {
        x = A[i];//待插入元素
        for(j = i; j > 0 && A[j - 1] > x; --j)
           A[j] = A[j - 1];

     A[j] = x;
    }
}

上面的代码实现是比较好的，它移动实现了元素移动，却没有明显的使用交换，而是使用x保存待插入元素，不断将x之前的元素往右移动，直到空出适合x插入的位置。

时间复杂度分析

对于P每一个值，代码中第6行的内层for循环最多执行P+1次比较，对所有的P求和：

T(N) = 2 + 3 + 4 + .... + N = O(N^2) = o(N^2)

如果输入是有序的，那么内层for循环就不会执行，因此时间复杂度是O(N)，这是最好的情形。平均时间复杂度是：O(N^2) = o(N^2)

简单排序的时间下界

数组的一个逆序：数组中i < j，但A[i] > A[j]的序偶（A[i],A[j]）。

在上面的序列中存在(2,1)，（4,1），（4,3），（6,1），（6,3），（6,5）这6个逆序。想一下插入排序的过程，如果待插入元素与前面的元素存在逆序，那么就需要交换数据，每次都是和相邻的元素交换，交换一次只能消除一个逆序。也就是说数组中的逆序个数就是排序时的交换次数。 插入排序时，除了交换外还有其他O(N) 项工作，设I为原数组中的逆序数，因此插入排序的时间复杂度是O(I + N)。如果能求出I的平均值，也就求出了插入排序的平均时间复杂度。

定理：N个互异的数组的平均逆序数是N(N - 1) / 4。

证明：对于任意序列L，其反序是~L，对于L中的任意两个数（x,y），且y > x。如果x在y的前面，那么对于~L而言，x就在y的后面，（x,y）就是~L的逆序：

L：..... x ...... y ......

~L：....... y ....... x .......

反之，如果x在y的后面，（x,y）就是L的逆序。总之，对于任意(x,y)，它要么是L的逆序，要么是~L的逆序。这样L + ~L的逆序总和是：C(N,2) = N(N - 1) / 2。L的平均逆序就应该是总量的一半：N(N-1) / 4。

序列的平均逆序数是二次的，交换相邻元素只能消除一个逆序。因此，凡是通过只交换相邻元素的排序算法的平均时间是二次的，这是这类算法一个很强的下界。因此我们又得到一个定理：通过交换相邻元素进行排序的任何算法平均需要Ω(N^2)。

这个下界告诉我们，为了以亚二次时间运行，必须要对相距较远的元素进行交换，这样的一次交换可能会消除多个逆序。

转载请注明出处：喻红叶《排序算法的时间下界》