UVA 11168 Airport(凸包+直线两点式转一般式)

UVA 11168 Airport(凸包+直线两点式转一般式)

题意:

平面上有n个点,你要找一条直线,使得所有点都是直线的同一侧(可以在直线上),且所有点到直线的距离和最小. 问你所有点到直线的距离和最小是多少(要求输出平均值)?

分析: 刘汝佳<<训练指南>>P274 例题7

首先如果存在这样的直线,那么该直线肯定是点集凸包的某一条边.(可以画图验证一下,与凸包相离的直线肯定不考虑,与凸包相交1点的直线可以通过旋转来继续缩短所有点到直线的距离和)

由于凸包最多有n条边,所以我们需要一次求出所有点到这n条边的距离和. 点到直线的距离这里我们用解析几何的方式来算:

点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离= |Ax0+By0+C|/sqrt(A*A+B*B)

要求n个点的距离,就是上面的n个式子相加,由于所有点在直线同侧,所以我们可以先不考虑绝对值,直接求和,最后再求绝对值,所以最终结果为(x_all和y_all为所有点的x与y坐标之和):

fabs(A*x_all+B*y_all+n*C)/sqrt(A*A+B*B)

之后我们只要对比n个值找出最小的即可.

最后还有一个问题:已知直线的两点坐标(x1,y1)与(x2,y2)如何得到直线的 Ax+By+C=0的方程? 假设直线上的点为(x,y),由斜率相同可得公式: (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1) ,化简可得 (y-y1)*(x2-x1)=(x-x1)*(y2-y1), 化简可得 (y2-y1)*x-(x2-x1)*y+y1(x2-x1)-x1(y2-y1)=0.对比可知:

A=(y2-y1) B=-(x2-x1) C=y1(x2-x1)-x1(y2-y1)=-y1*B-x1*A

注意当整个点集的凸包退化成一条线段时,总距离==0.

AC代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double eps=1e-10;
int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)<eps) return 0;
    return x<0?-1:1;
}
struct Point
{
    double x,y;
    Point(){}
    Point(double x,double y):x(x),y(y){}
    bool operator==(const Point& B)const
    {
        return dcmp(x-B.x)==0 && dcmp(y-B.y)==0;
    }
    bool operator<(const Point &B)const
    {
        return dcmp(x-B.x)<0 || (dcmp(x-B.x)==0 && dcmp(y-B.y)<0);
    }
};
typedef Point Vector;
Vector operator-(Point A,Point B)
{
    return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
double Cross(Vector A,Vector B)
{
    return A.x*B.y-A.y*B.x;
}
int ConvexHull(Point *p,int n,Point *ch)
{
    sort(p,p+n);
    n=unique(p,p+n)-p;
    int m=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        while(m>1 && Cross(ch[m-1]-ch[m-2], p[i]-ch[m-2])<=0 ) m--;
        ch[m++]=p[i];
    }
    int k=m;
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        while(m>k && Cross(ch[m-1]-ch[m-2], p[i]-ch[m-2])<=0) m--;
        ch[m++]=p[i];
    }
    if(n>1) m--;
    return m;
}
/***以上为刘汝佳模板***/
void get_line(Point p1,Point p2,double &a,double &b,double &c)
{
    a=p2.y-p1.y;
    b=p1.x-p2.x;
    c=-p1.y*b-p1.x*a;
}
const int maxn=10000+5;
Point p[maxn],q[maxn];
int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    for(int kase=1;kase<=T;kase++)
    {
        int n;
        double x_all=0,y_all=0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
            x_all+=p[i].x;
            y_all+=p[i].y;
        }

        int m=ConvexHull(p,n,q);
        if(m<=2)//注意这里不是 m==2
        {
            printf("Case #%d: 0.000\n",kase);
            continue;
        }
        double ans=1e10;//最小距离
        for(int i=0;i<m;++i)
        {
            double a,b,c;
            get_line(q[i],q[(i+1)%m],a,b,c);
            ans=min(ans, fabs(a*x_all+b*y_all+n*c)/sqrt(a*a+b*b));
        }
        printf("Case #%d: %.3lf\n",kase,ans/n);
    }
    return 0;
}