01背包问题

问题描述：

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 

 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

 

 

  1 #include<stdio.h>

 2 
 3 int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
 4 int max(int a,int b)
 5 {
 6    if(a>=b)
 7        return a;
 8    else return b;
 9 }
10 
11 int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
12 {
13     int i,j;
14     for(i=0;i<=n;i++)
15         V[i][0]=0;
16     for(j=0;j<=C;j++)
17         V[0][j]=0;
18     for(i=0;i<=n-1;i++)
19         for(j=0;j<=C;j++)
20             if(j<w[i])
21                 V[i][j]=V[i-1][j];
22             else
23                 V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
24             j=C;
25             for(i=n-1;i>=0;i--)
26             {
27                 if(V[i][j]>V[i-1][j])
28                 {
29                 x[i]=1;
30                 j=j-w[i];
31                 }
32             else
33                 x[i]=0;
34             }
35             printf("选中的物品是:\n");
36             for(i=0;i<n;i++)
37                 printf("%d ",x[i]);
38             printf("\n");
39         return V[n-1][C];
40         
41 }
42 
43 void main()
44 {
45     int s;//获得的最大价值
46     int w[15];//物品的重量
47     int v[15];//物品的价值
48     int x[15];//物品的选取状态
49     int n,i;
50     int C;//背包最大容量
51     n=5;
52     printf("请输入背包的最大容量:\n");
53     scanf("%d",&C);
54     
55     printf("输入物品数:\n");
56     scanf("%d",&n);
57     printf("请分别输入物品的重量:\n");
58     for(i=0;i<n;i++)
59         scanf("%d",&w[i]);
60 
61     printf("请分别输入物品的价值:\n");
62     for(i=0;i<n;i++)
63         scanf("%d",&v[i]);
64 
65     s=KnapSack(n,w,v,x,C);
66 
67     printf("最大物品价值为:\n");
68     printf("%d\n",s);
69    
70     
71 }