聚类算法学习笔记（四）——层次聚类

1.    层次聚类
层次聚类算法与之前所讲的顺序聚类有很大不同，它不再产生单一聚类，而是产生一个聚类层次。说白了就是一棵层次树。介绍层次聚类之前，要先介绍一个概念——嵌套聚类。讲的简单点，聚类的嵌套与程序的嵌套一样，一个聚类中R1包含了另一个R2，那这就是R2嵌套在R1中，或者说是R1嵌套了R2。具体说怎么算嵌套呢？聚类R1={{x1,x2},{x3},{x4,x5}嵌套在聚类R2={{x1,x2,x3},{x4,x5}}中，但并不嵌套在聚类R3={{x1,x4},{x3},{x2,x5}}中。

层次聚类算法产生一个嵌套聚类的层次，算法最多包含N步，在第t步，执行的操作就是在前t-1步的聚类基础上生成新聚类。主要有合并和分裂两种实现。我这里只讲合并，因为前一阶段正好课题用到，另外就是合并更容易理解和实现。当然分裂其实就是合并的相反过程。

令g(Ci,Cj)为所有可能的X聚类对的函数，此函数用于测量两个聚类之间的近邻性，用t表示当前聚类的层次级别。通用合并算法的伪码描述如下：

1.       初始化：

a)         选择Â0={{x1},…,{xN}}

b)        令t=0

2.       重复执行以下步骤：

a)         t=t+1

b)        在Ât-1中选择一组(Ci,Cj)，满足

c)         定义Cq=CiÈCj，并且产生新聚类Ât=(Ât-1-{Ci,Cj})È{Cq}

直到所有向量全被加入到单一聚类中。

       这一方法在t层时将两个向量合并，那么这两个向量在以后的聚类过程中的后继聚类都是相同的，也就是说一旦它们走到一起，那么以后就不会再分离……（很专一哦O(∩_∩)O~）。这也就引出了这个算法的缺点，当在算法开始阶段，若出现聚类错误，那么这种错误将一直会被延续，无法修改。在层次t上，有N-t个聚类，为了确定t+1层上要合并的聚类对，必须考虑(N-t)(N-t-1)/2个聚类对。这样，聚类过程总共要考虑的聚类对数量就是(N-1)N(N+1)/6，也就是说整个算法的时间复杂度是O(N3)。

举例来说，如果令X={x1, x2, x3, x4, x5}，其中x1=[1, 1]T, x2=[2, 1]T, x3=[5, 4]T, x4=[6, 5]T, x5=[6.5, 6]T。那么合并算法执行的过程可以用下面的图来表示。

              P(X)是不相似矩阵

该算法从核心过程上来讲，就是先计算出数据集中向量之间的距离，记为距离矩阵（也叫不相似矩阵）。接着通过不断的对矩阵更新，完成聚类。矩阵更新算法的伪码描述如下：

1.       初始化：

a)         Â0={{x1},…,{xN}}

b)        P0=P(X) (距离矩阵)

c)         t=0

2.       重复执行以下步骤：

a)         t=t+1

b)        合并Ci和Cj为Cq，这两个聚类满足d(Ci,Cj)=minr,s=1,…,N,r≠sd(Cr,Cs)

c)         删除第i和j行，第i和j列，同时插入新的行和列，新的行列为新合并的类Cq与所有其他聚类之间的距离值

直到将所有向量合并到一个聚类中

       大家可以看到，层次聚类算法的输出结果总是一个聚类，这往往不是我们想要的，我们总希望算法在得到我们期望的结果后就停止。那么我们如何控制呢？常用的做法就是为算法限制一个阈值，矩阵更新过程中，总是将两个距离最近的聚类合并，那么我们只要加入一个阈值判断，当这个距离大于阈值时，就说明不需要再合并了，此时算法结束。这样的阈值引入可以很好的控制算法结束时间，将层次截断在某一层上。

2. 算法实现
       MATLAB实现了层次聚类算法，基本语句如下：

1X = [1 2;2.5 4.5;2 2;4 1.5;4 2.5] ;
2Y = pdist(X,'euclid');
3Z = linkage(Y,'single');
4T = cluster(Z,'cutoff',cutoff);

MATLAB还有一个简化的层次聚类版本，一句话搞定

1T = clusterdata(X,cutoff)


Java实现的版本：



  1package util;
  2
  3import java.util.*;
  4
  5public class Clusterer {
  6    private List[] clusterList;
  7    DisjointSets ds;
  8    private static final int MAX = Integer.MAX_VALUE;
  9    private int n;
10    private int cc;
11
12    // private double ori[] = {1,2,5,7,9,10};
13
14    public Clusterer(int num) {
15        ds = new DisjointSets(num);
16        n = num;
17        cc = n;
18        clusterList = new ArrayList[num];
19        for (int i = 0; i < n; i++)
20            clusterList[i] = new ArrayList();
21    }
22
23    public List[] getClusterList() {
24        return clusterList;
25    }
26
27    public void setClusterList(List[] clusterList) {
28        this.clusterList = clusterList;
29    }
30
31    public void output() {
32        int ind = 1;
33        for (int i = 0; i < n; i++) {
34            clusterList[ds.find(i)].add(i);
35        }
36        for (int i = 0; i < n; i++) {
37            if (clusterList[i].size() != 0) {
38                System.out.print("cluster " + ind + " :");
39                for (int j = 0; j < clusterList[i].size(); j++) {
40                    System.out.print(clusterList[i].get(j) + " ");
41                }
42                System.out.println();
43                ind++;
44            }
45        }
46    }
47
48    /**
49     * this method provides a hierachical way for clustering data.
50     *
51     * @param r
52     *            denote the distance matrix
53     * @param n
54     *            denote the sample num(distance matrix's row number)
55     * @param dis
56     *            denote the threshold to stop clustering
57     */
58    public void cluster(double[][] r, int n, double dis) {
59        int mx = 0, my = 0;
60        double vmin = MAX;
61        for (int i = 0; i < n; i++) { // 寻找最小距离所在的行列
62            for (int j = 0; j < n; j++) {
63                if (j > i) {
64                    if (vmin > r[i][j]) {
65                        vmin = r[i][j];
66                        mx = i;
67                        my = j;
68                    }
69                }
70            }
71        }
72        if (vmin > dis) {
73            return;
74        }
75        ds.union(ds.find(mx), ds.find(my)); // 将最小距离所在的行列实例聚类合并
76        double o1[] = r[mx];
77        double o2[] = r[my];
78        double v[] = new double[n];
79        double vv[] = new double[n];
80        for (int i = 0; i < n; i++) {
81            double tm = Math.min(o1[i], o2[i]);
82            if (tm != 0)
83                v[i] = tm;
84            else
85                v[i] = MAX;
86            vv[i] = MAX;
87        }
88        r[mx] = v;
89        r[my] = vv;
90        for (int i = 0; i < n; i++) { // 更新距离矩阵
91            r[i][mx] = v[i];
92            r[i][my] = vv[i];
93        }
94        cluster(r, n, dis); // 继续聚类，递归直至所有簇之间距离小于dis值
95    }
96
97    /**
98     *
99     * @param r
100     * @param cnum
101     *            denote the number of final clusters
102     */
103    public void cluster(double[][] r, int cnum) {
104        /*if(cc< cnum)
105            System.err.println("聚类数大于实例数");*/
106        while (cc > cnum) {// 继续聚类，循环直至聚类个数等于cnum
107            int mx = 0, my = 0;
108            double vmin = MAX;
109            for (int i = 0; i < n; i++) { // 寻找最小距离所在的行列
110                for (int j = 0; j < n; j++) {
111                    if (j > i) {
112                        if (vmin > r[i][j]) {
113                            vmin = r[i][j];
114                            mx = i;
115                            my = j;
116                        }
117                    }
118                }
119            }
120            ds.union(ds.find(mx), ds.find(my)); // 将最小距离所在的行列实例聚类合并
121            double o1[] = r[mx];
122            double o2[] = r[my];
123            double v[] = new double[n];
124            double vv[] = new double[n];
125            for (int i = 0; i < n; i++) {
126                double tm = Math.min(o1[i], o2[i]);
127                if (tm != 0)
128                    v[i] = tm;
129                else
130                    v[i] = MAX;
131                vv[i] = MAX;
132            }
133            r[mx] = v;
134            r[my] = vv;
135            for (int i = 0; i < n; i++) { // 更新距离矩阵
136                r[i][mx] = v[i];
137                r[i][my] = vv[i];
138            }
139            cc--;
140        }
141    }
142
143    public static void main(String args[]) {
144        double[][] r = { { 0, 1, 4, 6, 8, 9 }, { 1, 0, 3, 5, 7, 8 },
145                { 4, 3, 0, 2, 4, 5 }, { 6, 5, 2, 0, 2, 3 },
146                { 8, 7, 4, 2, 0, 1 }, { 9, 8, 5, 3, 1, 0 } };
147        Clusterer cl = new Clusterer(6);
148        //cl.cluster(r, 6, 1);
149        cl.cluster(r, 3);
150        cl.output();
151    }
152
153}
154

3. 小结
       层次聚类算法是非常常用的聚类算法，同时也是被广泛研究的聚类算法。层次聚类本身分为合并和分裂两种实现，在合并算法中，又分基于矩阵理论的合并和基于图论的合并。本文只是初学聚类的一点体会，因此只实现了基于矩阵理论的算法，同时，用于大数据集合的层次算法如CURE，ROCK和Chameleon算法都没有涉及，这些算法如果以后有时间，会整理发布。还有截断点的选择，最佳聚类数的确定都是可以研究的问题。

4. 参考文献及推荐阅读
[1]Pattern Recognition Third Edition, Sergios Theodoridis, Konstantinos Koutroumbas

[2]模式识别第三版, Sergios Theodoridis, Konstantinos Koutroumbas著, 李晶皎, 王爱侠, 张广源等译





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