分治算法详解

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一、基本概念

   在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

    任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问 题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接 解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的.

二、基本思想及策略

   分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

   分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

   如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的 子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终 使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

三、分治法适用的情况

    分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

    1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

    2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

    3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

    4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

四、分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

    step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

    step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

    step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

    Divide-and-Conquer(P)

    1. if |P|≤n0

    2. then return(ADHOC(P))

    3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

    4. for i←1 to k

    5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

    6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

    7. return(T)

    其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本 子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治 法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

五、分治法的复杂性分析

    一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为 k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间， 则有：

 T（n）= k T(n/m)+f(n)

    通过迭代法求得方程的解：

    递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。 通常假定T(n)是单调上升的，从而当  mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

六、可使用分治法求解的一些经典问题

（1）二分搜索

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

 （8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）汉诺塔

七、依据分治法设计程序时的思维过程

    实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法

2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法

3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

八、下面我对分治法的一些程序适当的演示！

1：对于大数问题的思考(1)

下面采用分治法的逻辑看看是否可行，在这里我们举例 3的2000次方，由于整形最多20亿，毋庸置疑这里已经超过了界限！为了方便说明是否可以分治 以及如何分治，请看这样一个算式：

123 345 678 * 3 = 370 037 034       在这里我们可以这样写：

123 * 3 = 369      345 * 3 = 1035      678 * 3 = 2034          组合在一起是    369 1035 2034。

看到这个结果，与原结果相比较，你发现了什么？其实早就在古代我们的老祖宗就发明了算盘的这个计算工具，回想一下他的计算方式，逢10进1，也就是我们通常所说的10进制表示法！

在这里，我们可以想得到 1000进制吧，也就是逢1000往上位进1，那么每个位上最大的也只能是999，而没有1000了。 利用这个思想，我们来看看上面的算式！

369                                  1035                               2034

 369+1                                035+2                             034

（加1，得370）                       （进1，保留037）               （进2，保留034）

那么最后的结果也就是 370 037 034 发现结果刚好一样，这就是我们所谓的1000进表示法

 值得说明一下：为何1000进制表示出来的数和10进制表示出来的数是一样的，其实不仅如此，100进制  1000进制 乃至10000进制，表示的最后结果都是一样的，不知道你发现了没？

 举个例子：10进制的199，用100进制表示也是1 99,10进制的1099 用1000进制表示也是 1 099（注意这个0不能略去）以此类推！

好了，回到正题，上面那个算式通过拆分为3个数的思想，这就体现了分治法的思想，

首先他满足第一条件：分解到一定小规模的时候可以解决

第二条件：每个小规模都具有最佳子结构（在变量范围内，可以用来表示）

第三条件：每个小问题可以通过合并在一起形成大问题的解

第四条件：每个小问题相互独立

 这几点他都满足了，当然可以利用分治思想了！接下来看我们的题目 3的2000次方，在这里我们采用10000进制数组表示法！！该函数源码如下：

void RandomBigNumFun(int low,int high)                 //传递参数为底数和指数
{

	unsigned int temp[1024] = {0};                     //初始化一个数组，用来存放10000进制的数据
	temp [0] = low;                                    //初始化第一个元素为需要的值！
	int flag = -1;                                     //标记变量，用来指示是否需要往上一位进位，同事保存进多少
	unsigned int m_count = 1;                          //技术变量，计算数组中被占用了多少个元素
	int _index,index;                                  //两个循环变量

	for(_index = 0;_index <high-1; ++_index)           //循环high-1次 因为本身temp[0]= low，
	{
		for(index = 0; index < m_count ; ++index)      //循环m_count次，其实原本可以把整个数组循环完
		{                                              //只不过耗时了，因为实际有值的地方只有m_count个
			temp[ index ] *= low;                      

			if(flag != -1)                             //检测下一位是否溢出，需要向自己进位 
			{
				temp[index] += flag;
				flag = -1;                             //进位之后别忘记把标记在设置为-1
			}

			if(temp[index] > 9999)                     //判断是否需要向上一位进位
			{
				flag = temp[index]/10000 ;
				temp[index] %= 10000;
			}
		}

		if(flag != -1)                                 
		{
			temp[index] += flag;
			++m_count;
			flag = -1;
		}

		if(m_count > 1023)
		{
			printf("数据过大而数组过小，请重置存放数组的大小");
			exit(0);
		}
	}

	for(index = m_count-1;index >=0;--index)        //这里值得说明，如果该位上是1，则要输出0001，因为是一万进制
	{
		if(temp[index] < 10)
			cout<<"000"<<temp[index];
		else if(temp[index] < 100)
			cout<<"00"<<temp[index];
		else if(temp[index] < 1000)
			cout<<"0"<<temp[index];
		else
			cout<<temp[index];
	}

} 

 其实上述函数需要传递参数进去，这里就传3和2000进去，运行结果如下(大得难以想象)：

对于大数问题的思考(2):

 

上述所讲是大数的乘方形式出现，接下来演示大数相乘的计算方法，例如：27392361983108271361039746313 乘以 37261038163103818366341087632113

呵呵，当然在这里我不会写这么大一个数组，我只会举一个简单的例子  如 234 * 456 = ？？？？

 

有人可能会问：博主，这样的直接计算就可以算出来，还需要分治吗？ 在这里我主要讲一种通用的算法思想，那么无论遇见多大的数字，都可以这样来写！

 

算法前的分析：在这里我们若把456拆分为4,5,6，然后分别去乘以234，结果是什么样勒？答案如下：

 

                                        234

                                x      456

                          ____________________

                                      1404

                                    1170

                                    936 

                            ------------------------------------

                                      106704

 

这样的结构大家都清楚，可是我们需要怎么用程序来保留这个结果勒，不妨设一个二维数组来保存结果，数组的第一行保留1404，第二行保留1170，第三行保留936，

由于不能直接存储，我们需要对存放的位置做一下计算：数组该有多少行，该有多少列？

在这里我们需要知道，两个三位数的乘积，结果最多为6位数，一个2位一个6位相乘，结果最多为2+6=8位，所以这里数组该有6列，而对于行数，则由被乘数决定，所以这里为3行！！、

 temp [3] [6]  =  {

                             0  0  1  4  0  4

                             0  1  1  7  0  0

                             0  9  3  6  0  0

                         }

每列依次往下加 1 0  6 7  0  4;所得刚好为我们要的答案，好了，废话不多说，这里直接看代码！！

#include <iostream>
using namespace std;

inline int Translate(char str)
{
	return (str - 48);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	char NumStr1 [3] = {'2','3','4'};
	char NumStr2 [3] = {'4','5','6'};
	int temp[3][6] = {0};
	signed int flag = -1;

	int Temp_x = 0;
	int Temp_y ;

	int _index,index;

	for(_index = 2;_index >= 0 ;--_index)                 //这里的两重循环是分别赋值到二维数组里面
	{
		Temp_y = 5 - Temp_x;

		for(index = 2;index >= 0;--index,--Temp_y)
		{
			temp[Temp_x][Temp_y] = Translate(NumStr2[_index]) * Translate(NumStr1[index]);

			if(flag != -1)
			{
				temp[Temp_x][Temp_y] += flag;
				flag = -1;
			}

			if(temp[Temp_x][Temp_y] >= 10)
			{
				flag = temp[Temp_x][Temp_y]/10;
				temp[Temp_x][Temp_y] %= 10;
			}
		}

		if(flag != -1)
		{
			temp[Temp_x][Temp_y] += flag;
			flag = -1;
		}
		++ Temp_x;
	}


	int temp_sum[6]={0};                   
	flag = -1;

	for(int j=5;j >= 0;-- j)                      //接下来这个循环是加每一列的数组到最后的结果数组里面
	{
		for(int i=2;i>=0;--i)
			temp_sum[j] += temp[i][j];
		if(flag != -1)
		{
			temp_sum[j] += flag;
			flag = -1;
		}

		if( temp_sum[j] >= 10)
		{
			flag = temp_sum[j] /10;
			temp_sum[j]  %=  10;
		}
	}

	flag = -1;

	for(int i = 0;i !=6;++ i)                       //这里是输出结果
		
			cout<<temp_sum[i];
	cout<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}

 

运行结果如下所示：

 

所得结果跟我们预想的一样 ，但是这个程序有个小bug，因为两个三位数相乘，不一定是6位数，也许是5位数，所以输出的时候记得判断下第一个是否为0！

看到这里，读者可以自己改编以上程序为一个函数，求任意两个数字的乘积，只是那样的话需要动态创建数组了！

2：递归与分治的结合（汉诺塔问题）

关于递归，他也可看做是属于分治思想的一种体现，递归问题到处可见，可他始终是一个重难点，在这里我主要说一下递归中的汉诺塔这个经典的问题！

 

至于什么是汉诺塔，如果有不知道的可以百度，在这里我不累述，直接在程序中说明

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

static int count = -1;

void move(char x,char y);                             // 对move函数的声明 
void hanoi(int n,char one,char two,char three)       ;// 对hanoi函数的声明\

int main()
{          
	int m;
	printf("请输入一共有多少个板子需要移动:");
	scanf("%d",&m);
	printf("以下是%d个板子的移动方案:\n",m);
	hanoi(m,'A','B','C');
	system("pause");
	return 0;
}

void hanoi(int n,char one,char two,char three)        // 定义hanoi函数  
// 将n个盘从one座借助two座,移到three座 
{
	
	if(n==1)
		move(one,three);
	else
	{
		hanoi(n-1,one,three,two);                   //首先把n-1个从one移动到two
		move(one,three);                            //然后把最后一个n从one移动到three
		hanoi(n-1,two,one,three);                   //最后再把n-1个从two移动到three
	}
}


void move(char x,char y)                           //  定义move函数 
{
	count++;
	if( !(count%5) )
		printf("\n");
	printf("%c移动至%c  ",x,y);
}

 如果输入5个板子，则移动的方案为：

结果所示便为移动过程，至于内部是怎么实现的，读者可自己下来画出示意图，便一目了然！！

 

2：二分搜索法(二分查找) ,利用分治思想缩小范围!

 

二分法的思想说来比较简单,就是利用上下限不停的缩小查找的界限,当缩小到一定范围内的时候,就可以解决,这个算法也十分常见,在这里我不在累述了

#include <iostream>
using namespace  std;
int binary_sreach(int *array,int len,int elem);

int main(int argc, char* argv[])
{
	int a[7] = {1,2,3,6,8,9,99};
	cout<<binary_sreach(a,7,6);
	system("pause");
	return 0;
}

int binary_sreach(int *array,int len,int elem)
{
	int low = 0;
	int high = len - 1;
	int middle;
	while (low <= high)
	{
		middle = (low + high)/2;
		if(array[middle] == elem)
			return middle;

		else if(array[middle] > elem)
			high = middle;
		else
			low = middle;
	}

	return -1;
}

 运行结果也可想而知是3，二分法其实也就这么简单，这里也明显利用了分治的思想！！