特征脸(Eigenface)理论基础-PCA(主成分分析法)

在之前的博客 人脸识别经典算法一：特征脸方法（Eigenface） 里面介绍了特征脸方法的原理，但是并没有对它用到的理论基础PCA做介绍，现在做补充。请将这两篇博文结合起来阅读。以下内容大部分参考自斯坦福机器学习课程：http://cs229.stanford.edu/materials.html

假设我们有一个关于机动车属性的数据集{x⁽ⁱ⁾;i=1,...,m}（m代表机动车的属性个数），例如最大速度，最大转弯半径等。假设x⁽ⁱ⁾本质上是n维的空间的一个元素，其中n<<m，但是n对我们来说是未知的。假设xⁱ和x^j分别代表车以英里和公里为单位的最大速度。显然这两个属性是冗余的，因为它们两个是有线性关系而且可以相互转化的。因此如果仅以xⁱ和x^j来考虑的话，这个数据集是属于m-1维而不是m维空间的，所以n=m-1。推广之，我们该用什么方法降低数据冗余性呢？

首先考虑一个例子，假设有一份对遥控直升机操作员的调查，用x⁽ⁱ⁾₁（1是下标，原谅我这操蛋的排版吧）表示飞行员i的飞行技能，x⁽ⁱ⁾₂表示飞行员i喜欢飞行的程度。通常遥控直升飞机是很难操作的，只有那些非常坚持而且真正喜欢驾驶的人才能熟练操作。所以这两个属性x⁽ⁱ⁾₁和x⁽ⁱ⁾₂相关性是非常强的。我们可以假设两者的关系是按正比关系变化的，如下图里的u₁所示，数据散布在u₁两侧是因为有少许噪声。

接下来就是如何计算u₁的方向了。首先我们需要预处理数据。

1.令

2.用x⁽ⁱ⁾-μ替代x⁽ⁱ⁾

3.求

4.用x⁽ⁱ⁾_j/σ_j替代x⁽ⁱ⁾_j

步骤1-2其实是将数据集的均值归零，也就是只取数据的偏差部分，对于本身均值为零的数据可以忽略这两步。步骤3-4是按照每个属性的方差将数据重新度量，也可以理解为归一化。因为对于不同的属性（比如车的速度和车座数目）如果不归一化是不具有比较性的，两者不在一个量级上。如果将pca应用到图像上的话是不需要步骤3-4的，因为每个像素（相当于不同的属性）的取值范围都是一样的。

数据经过如上处理之后，接下来就是寻找数据大致的走向了。一种方法是找到一个单位向量u，使所有数据在u上的投影之和最大，当然数据并不是严格按照u的方向分布的，而是分布在其周围。考虑下图的数据分布（这些数据已经做了前期的预处理）。

下图中，星号代表数据，原点代表数据在单位向量u上的投影（|x||u|cosΘ）

从上图可以看到，投影得到的数据仍然有很大的方差，而且投影点离原点很远。如果采取与上图u垂直的方向，则可以得到下图：

这里得到的投影方差比较小，而且离原点也更近。

上述u的方向只是感性的选择出来的，为了将选择u的步骤正式确定下来，可以假定在给定单位向量u和数据点x的情况下，投影的长度是x^Tu。举个例子,如果x⁽ⁱ⁾是数据集中的一个点（上图中的一个星号），那它在u上的投影x^Tu就是圆点到原点的距离（是标量哦）。所以，为了最大化投影的方差，我们需要选择一个单位向量u来最大化下式：

明显，按照||u||₂=1（确保u是单位向量）来最大化上式就是求的主特征向量。而其实是数据集的协方差矩阵。

做个总结，如果我们要找数据集分布的一维子空间（就是将m维的数据用一维数据来表示），我们要选择协方差矩阵的主特征向量。推广之，如果要找k维的子空间，那就应该选择协方差矩阵的k个特征向量u₁,u₂,...,u_k。u_i(i=1,2,...,k)就是用来表征数据集的新坐标系。

为了在u₁,u₂,...,u_k的基础上表示x⁽ⁱ⁾，我们只需要计算

其中x⁽ⁱ⁾是属于n维空间的向量，而y⁽ⁱ⁾给出了基于k维空间的表示。因此说，PCA是一个数据降维算法。u₁,u₂,...,u_k称为数据的k个主成分。

介绍到这里，还需要注意一些为题：

1、为什么u要选择单位向量

选择单位向量是为了统一表示数据，不选成单位的也可以，但各个向量长度必须统一，比如统一长度为2、3等等。

2、各个u要相互正交

如果u不正交，那么在各个u上的投影将含有冗余成分

2、为什么要最大化投影的方差

举个例子，如果在某个u上的投影方差为0，那这个u显然无法表示原数据，降维就没有意义了。