动态规划-01背包问题

在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。

注意：在本题中，所有的体积值均为整数。01的意思是，每个物品都是一个整体，要么整个都要，要么都不要。

1）最优子结构

考虑所有物品的子集合，考虑第n个物品都有两种情况: 1. 包括在最优方案中  2. 不在最优方案中

因此，能获得的最大价值，即为以下两个值中较大的那个

1) 在剩下 n-1 个物品中(剩余 W 重量可用)的情况能得到的最大价值 (即排除了 第n个物品)

2)  第n个物品的价值 加上 剩下   剩下的 n-1 个物品(剩余W- wn的重量)能得到的最大价值。(即包含了第n个物品)

如果第n个物品的重量，超过了当前的剩余重量W，那么只能选情况1)， 排除第n个物品。

2) 重叠子问题

下面是一个递归的实现，按照上面的最优子结构。

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01	/* 朴素的递归实现  0-1 背包 */

02	#include<stdio.h>

03

04	int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; }

05

06	// 返回  前n个物品在容量为W时，能得到的最大价值

07	int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)

08

{

09

// 没有物品了

10	if (n == 0 || W == 0)

11

return 0;

12

13	// 如果当前第n个物品超重了，就排除在外

14	if (wt[n-1] > W)

15	return knapSack(W, wt, val, n-1);

16

17	//返回两种情况下最大的那个 (1) 包括第n个物品 (2) 不包括第n个物品

18	else return max( val[n-1] + knapSack(W-wt[n-1], wt, val, n-1),

19	knapSack(W, wt, val, n-1)

20

);

21

}

22

23

// 测试

24	int main()

25

{

26	int val[] = {60, 100, 120};

27	int wt[] = {10, 20, 30};

28	int  W = 50;

29	int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);

30	printf("%d", knapSack(W, wt, val, n));

31

return 0;

32

}

这种方法其实就是搜索了所有的情况，但是有很多重复的计算。时间复杂度是指数级的 O(2^n)。

01	在下面的递归树中 K() 代表 knapSack().

02

输入数据如下：

03	wt[] = {1, 1, 1}, W = 2, val[] = {10, 20, 30}

04

05	K(3, 2)         ---------> K(n, W)

06	/            \

07	/                \

08	K(2,2)                  K(2,1)

09	/       \                  /    \

10	/           \              /        \

11	K(1,2)      K(1,1)        K(1,1)     K(1,0)

12	/  \         /   \          /   \

13	/      \     /       \      /       \

14	K(0,2)  K(0,1)  K(0,1)  K(0,0)  K(0,1)   K(0,0)

可见相同的子问题被计算多次。01背包满足动态规划算法的两个基本属性(重叠子问题和最优子结构)。可以通过自下而上的打表，存储中间结果，来避免重复计算。动态规划解法如下：

01	#include<stdio.h>

02	int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; }

03

04	int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)

05

{

06

int i, w;

07	int dp[n+1][W+1];

08

09	for (i = 0; i <= n; i++)

10

{

11	for (w = 0; w <= W; w++)

12

{

13	if (i==0 || w==0)

14	dp[i][w] = 0;

15	else if (wt[i-1] <= w)

16	dp[i][w] = max(val[i-1] + dp[i-1][w-wt[i-1]],  dp[i-1][w]);

17

else

18	dp[i][w] = dp[i-1][w];

19

}

20

}

21	return dp[n][W];

22

}

23

24	int main()

25

{

26	int val[] = {60, 100, 120};

27	int wt[] = {10, 20, 30};

28	int  W = 50;

29	int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);

30	printf("%d", knapSack(W, wt, val, n));

31

return 0;

32

}

空间复杂度和时间复杂度都为 O(Wn).  由于打表的过程中，计算的当前行只依赖上一行，空间复杂度可以优化为O(W);

参考：http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-10-0-1-knapsack-problem/

更多关于算法分析的文章：http://www.acmerblog.com/category/zhuanti/algorithm