JavaScript 中小数和大整数的精度丢失

先来看两个问题：

0.1 + 0.2 == 0.3; // false
9999999999999999 == 10000000000000000; // true

第一个问题是小数的精度问题，在业界不少博客里已有讨论。第二个问题，去年公司有个系统的数据库在做数据订正时，发现有部分数据重复的诡异现象。本文将从规范出发，对上面的问题做个小结。

 

最大整数

JavaScript 中的数字是用 IEEE 754 双精度 64 位浮点数 来存储的，其格式为：

s x m x 2^e

s 是符号位，表示正负。 m 是尾数，有 52 bits. e 是指数，有 11 bits. 在 ECMAScript 规范 里有给出 e 的范围为 [-1074, 971]. 这样，很容易推导出 JavaScript 能表示的最大整数为：

1 x (2^53 - 1) x 2^971 = 1.7976931348623157e+308

这个值正是 Number.MAX_VALUE

同理可推导出 Number.MIN_VALUE 的值为：

1 x 1 x 2^(-1074) = 5e-324

注意 MIN_VALUE 表示最接近 0 的正数，而不是最小的数。最小的数是 －Number.MAX_VALUE

小数的精度丢失

十进制 0.1 的二进制为 0.0 0011 0011 0011 … （循环 0011）
十进制 0.2 的二进制为 0.0011 0011 0011 … （循环 0011）

0.1 + 0.2 相加可表示为：
   e = -4; m = 1.10011001100...1100（52 位）
 + e = -3; m = 1.10011001100...1100（52 位）
---------------------------------------------
   e = -3; m = 0.11001100110...0110
 + e = -3; m = 1.10011001100...1100
---------------------------------------------
   e = -3; m = 10.01100110011...001
---------------------------------------------
 = 0.01001100110011...001
 = 0.30000000000000004（十进制）

根据上面的演算，还可以得出一个结论：当十进制小数的二进制表示的有限数字不超过 52 位时，在 JavaScript 里是可以精确存储的。比如：

0.05 + 0.005 == 0.055 // true

进一步的规律，比如：

0.05 + 0.2 == 0.25 // true
0.05 + 0.9 == 0.95 // false

需要考虑 IEEE 754 的 Rounding modes, 有兴趣的可进一步研究。

大整数的精度丢失

这个问题鲜有人提及。首先得弄清楚问题是什么：

1. JavaScript 能存储的最大整数是什么？

该问题前面已回答，是 Number.MAX_VALUE, 非常大的一个数。

2. JavaScript 能存储的且不丢失精度的最大整数是什么？

根据 s x m x 2^e, 符号位取正，52 位尾数全填充 1, 指数 e 取最大值 971, 显然，答案依旧是 Number.MAX_VALUE.

我们的问题究竟是什么呢？回到起始代码：

9999999999999999 == 10000000000000000; // true

很明显，16 个 9 还远远小于 308 个 10. 这个问题与 MAX_VALUE 没什么关系，还得归属到尾数 m 只有 52 位上来。

可以用代码来描述：

var x = 1; // 为了减少运算量，初始值可以设大一点，比如 Math.pow(2, 53) - 10
while(x != x + 1) x++;
// x = 9007199254740992 即 2^53

也就是说，当 x 小于等于 2^53 时，可以确保 x 的精度不会丢失。当 x 大于 2^53 时，x 的精度有可能会丢失。比如：

x 为 2^53 + 1 时，其二进制表示为：
10000000000...001 （中间共有 52 个 0）

用双精度浮点数存储时：
e = 1; m = 10000..00（共 52 个 0，其中 1 是 hidden bit）

显然，这和 2^53 的存储是一样的。

按照上面的思路可以推出，对于 2^53 + 2, 其二进制为 100000…0010（中间 51 个 0），也是可以精确存储的。

规律：当 x 大于 2^53 且二进制有效位数大于 53 位时，就会存在精度丢失。这和小数的精度丢失本质上是一样的。

hidden bit 可参考：A tutorial about Java double type.

小结

小数和大整数的精度丢失，并不仅仅在 JavaScript 中存在。严格来说，使用了IEEE 754 浮点数格式来存储浮点类型的任何编程语言（C/C++/C#/Java 等等）都存在精度丢失问题。在 C#、Java 中，提供了 Decimal、BigDecimal 封装类来进行相应的处理，才避开了精度丢失。

注：ECMAScript 规范中，已有 decimal proposal，但目前尚未被正式采纳。

最后考考大家：

Number.MAX_VALUE + 1 == Number.MAX_VALUE;
Number.MAX_VALUE + 2 == Number.MAX_VALUE;
...
Number.MAX_VALUE + x == Number.MAX_VALUE;
Number.MAX_VALUE + x + 1 == Infinity;
...
Number.MAX_VALUE + Number.MAX_VALUE == Infinity;

// 问题：
// 1. x 的值是什么？
// 2. Infinity - Number.MAX_VALUE == x + 1; 是 true 还是 false ?

参考资料

• Wikipedia: Float point
• ES5: The Number Type
• Javascript – MAX_INT: Number Limits
• Maxinum number
• 关于 JavaScript 计算精度丢失的问题