丘成桐在台湾交通大学演讲：《我研究数学的经验》

1997年6月9日于
新竹交通大学应用数学系

主持人林松山致辞：
今天我们非常高兴能够请到丘成桐院士来演讲，不是讲深奥的数学而是讲怎么去做深奥的数学，好的数学。这讲题是"我研究数学的经验"，是丘院士研究数学的经验，我们欢迎丘院士。

今天林松山叫我讲关于应用数学的问题，我想一想，讲做学问的经验也好。因为我来台湾也差不多五年了，我想很多研究人员做研究的方法并不见得是最好，尤其是我觉得很多年轻人员为什么在国外能够念的好？这是很值得思考的。 所以，我想讲讲我自己的经验，或是我对数学的看法，让大家参考一下。

我想第一讲是最重要的当然是要有热忱，最主要的就是求真的精神，是始终要培养的。我们做学问是为了求真，无论是对自然界的了解或是从数学方面来讲，我们有不同的观念，可是真跟美就数学来讲是最重要的。追求真跟美的热忱很重要，因为我们整个做学问的路上要碰到很多不同的困难，假如我们没有热忱的话，就没有办法继续下去。所以追求学问的最崇高目标，无过于真跟美，追求的目标无误，热情才不会熄减。我们非想办法培养自己对追求学问的热忱不可。几天我在去看我父亲的遗作，其中有屈原：

路漫漫其修远兮，余将上下而求索。

做学问的路很长很远，我们一定要看得很远，因此我们要上下去求索，要想尽办法去求真。怎么去找真跟美，能够始终不断的坚持下去，这是成功的一个很重要因素，如果没有热忱的话，就永远达不到做大学问的地步。我们再举一个国外的例子，在一个有组织的系统里，我们的竞争很厉害，尤其在物理方面或其它实验科学方面的研究，真是分秒必争；有一个题目刚好出来的时候，大家晓得其他人也会做这个问题，很多post doctor 或者是faculty 聚在一起往往工作到深夜，甚至整个晚上不睡觉。这上面当然有一个竞争性在里面，就是希望达到一个目标，比人家快了一点；可是另一方面也是因为求真的热忱很大，刺激着我们使我们不肯放松。否则的话，很多有tenure 的faculty，没有必要这样拼命，可是很多faculty 还是愿
意这样子作，我想热忱很重要。我们要晓得，作研究的路是很远的，我们要在中间低潮的时候还能够坚持做下去。很多作研究的人，他往往觉得若不在中心的地方，他不敢去做。有些人去到过最好的地方，他也不敢去碰难的题目。这有很多不同的原因，等一下我们再慢慢谈，可是一个最要紧的我想是基本的功夫要做好。基本功夫没做好往往会出现上述问题。中学的时候，大学的时候或者在研究院作研究生的时候，很多基本功夫都要培养，很多学生在年轻的时候不将基本功夫做好，以后做研究就很吃力。

交通大学着重应用数学，可是我们晓得应用数学主要的工具是从纯数学来的；很多的学生人认为既然是应用数学就不用学纯数学或者是应用物理就不必学基本的物理，这是很大的错误。很多基本的功夫非在作学生的时候学不可，为什么呢？我们要做习题，并且要大量的去做，这是学习基本功夫的必要过程。我想很多现在毕了业拿了博士学位的人看一本书的时候不再去做习题。遇到一些比较复杂计算的时候往往不愿意去算，可是很多基本的想法就是要从计算里面领会得来的。我们所做的命题，最后的时候可能留下很简单很漂亮的结果，可是中间往往要花大量的计算我们才晓得这结果是怎么得到的。做好的研究不是一朝一夕得来的，往往做了一百次，九十九次是错的，最后一次是成功的。但成功的时候，我只跟你讲成功的结果，不会跟你讲九十九次失败的经验。错误的经验往往是很好笑的，因为经常犯很明显的错误，要在做完的时候才知道。可是当讲给人家听的时候很少会跟人家讲错误的那部分，其实做错误的结果让你眼睛明亮，它帮你忙，让你向前走。其实你能做错的结果，已经是很不错的了，因为很多初学的人连怎么进去做这个题目都不能够做到。譬如来讲，你给我一个化学上的问题，我从什么地方开始做我都不晓得，因为我没有这基本的功夫，我根本不晓得要从什么地方开始。

一个好的数学家至少要能够掌握两门以上很基本的功夫。基本功夫不是一朝一夕学来的。譬如讲，有代数的方法、有分析的方法、有几何的方法等种种不同的方法，我们在中学的时候就开始学。有些人喜欢几何，觉得代数没有什么意思不想学，或者是学代数的人不想学几何，各种想法都有，可是最后我们发现真的做研究的时候全部都要用到。有人说我只做一个特殊的题目就永远只去做这方面的题目，结果连这方面的问题也不见得做得好。因为数学的发展是不停地在改变，不断地在改变。自然界能够提供给我们的问题，不会因为你是几何学家就继续不断的提供几何方面的问题，而往往是与几何结合在一起的问题。到了题目来的时候，要用到其它工具，我没办法去了解，我就比其他人吃亏了。例如，很重要的一门"群表示理论"，一般来讲很多地方不教这门课，可是在应用科学或者理论科学要用到，"群表示理论"在物理也要用到。有些好的数学家可以很技巧地运用"群表示理论"分析很多问题。我们可能没有这些办法，这就是因为我们基本功夫没有做好的缘故。我想"群表示理论"大概是进了研究院或者大学后半期的时候学的。中国数学家在这方面的训练不够，因此不如国外学者，可见有些基本学科一定要学好，同时要很早就学。我们学数学的不单是要学数学上的基本功夫，在物理上的基本功夫也要学，这是在大学时就要学的。力学、电磁学我们都要有一定的了解，因为物理跟数学这几十年来的发展越来越接近，很多问题是从物理上提供的。我们假如对这些基本的观念完全不认得的话，我们看到题目就比不上其他懂得这方面的数学家，能够很快的融会贯通。到了这个年代，很多的数学的问题往往是从其他的学问如理论物理、应用数学或其它的科学里来的，他们甚至提供intuition和方法。我们想了很久的一些问题，往往因此得到了解决，假使我们从来都不接触其他科学的话，就完全落伍了。举个例子来讲，代数几何学家这二十年来已有长远的发展。可是到了这几年来用古典的方法或者纤维丛的方法，都没有办法解决的问题，结果从理论物理帮助我们看到以前看不到的可能。由于本身知识的局限，很多代数几何学家遇到这个困难的时候没有办法接受这些专家的看法，遇到理论物理就不敢去碰它。可是物理提供了，解决了我们基本问题的方向，代数几何学又觉得很难为情， 因为他们没有办法去了解，所以这是一个很困扰的问题. 假使你不肯学物理学上的基本功夫，你就很难接受这个新的挑战。记得我看过一本书, 序言里讲作者很感谢代数学家Albert，他为什么感激他呢？他说Albert教我代数，使得我坐下来的时候，看代数问题不会恐慌，使我能够坐下来好好地对待代数上的问题。就是讲我们基本功夫能不能做到如此，我坐下来，看到几何问题或应用数学的问题，可不可以坐下来就想个办法来对付他，我想这是很重要的。我们往往看到问题，坐下来的时候，恐慌的不晓得怎么办，因此就算了，我想大家都有这个经验。你做基本功夫一定要做到你看一个题目，明明是unknown、 unsolved的问题，你还是可以坐下来，然后花工夫去解决它。即使你不能够解决它，可是你至少晓得怎样去想办法，同时不会恐慌、放弃，我想这是最重要的。往往我们因为基本功夫没做好，当一个深的题目或看法出现的时候，我们就拒绝去接受，认为这些题目不重要，这是去解释自己为什么不能够去做某一个问题的时候最自然的方法。训练基本功夫要在研究生、大学生或中学生的时候。基本功夫怎样学好呢？有时看一本书完了就放在一边，看了两、三本书后就以为懂了，其实
单看书是不够的，最重要的是做习题，因为只有在做习题的工夫里面你才能晓得什么命题你不懂，也理解到古人遇到的困难在那里。习题不单在课本里找，在上课和听seminar时也可以找。我们很多学生上课的时候不愿意去写笔记，不作笔记的话根本不可能去念任何学科。尤其是有时候演讲的人讲的题目是根本不在书本里的，或者是还没有发表的。我常觉得很奇怪,为什么学生不去作笔记，他认为他懂了，其实明明不懂。因为可能连讲课的人自己都还没搞懂，可是听讲的人不愿意去作笔记，也不会去跟演讲的人谈，也不会去跟其他老师讨论。往往你花了一个钟头在那边听，听完了以后就全部忘掉了。因为你没有一个写下的笔记可以温习，怎么可能不忘掉呢？另一个训练基本功夫就是要找出自己最不行的地方在哪里。我们来看"群表示理论"的时候，我们有一大套理论。单看理论是不够的，在应用时往往要知道群表示怎么分解的，你不能够将它写下来则理论对你一点好处都没有。又例如一个方程式的估计问题，你有没有办法瞭解其中的方法，就全靠你实际计算经验，不光念一两本书就足够的。举例来说，我的儿子最近刚学因式分解这个问题，老师教他一大堆怎么分解整数方程的问题。他学了。也学得很好，也学了怎么找根的方法。可是有一次考试是他不知道怎么因式分解？我跟他说，你明明晓得怎么找根，为什么不能够因式分解？主要是他学的时候没想到找根跟因式分解是同一件事情。问题就在于训练基本功夫的时候，要去想清楚数学命题间的关系，了解清楚为什么要解这些命题。我们去看很多人写以前人的事，写了很多很漂亮的介绍和批评。可是你自己没有经历过这一条路的话，你事实上很难了解困难在什么地方，为什么人家会这样子想。要得到这个经验，不单要做习题，还要做比较困难的习题。做困难的习题有什么好处呢？困难的习题往往是几个比较基本的问题的组合。我自己看书的时候，常常会一本书一下子就看完了，觉得很高兴，因为看完了；可是重新再看，反而什么都不懂。我想大家都有这个经验，主要的原因是什么呢？我们没有学好这学科，做比较困难的题目的时候，你就会发觉会遇到困难。尤其是我们做一些题目的时候，往往就觉得似是而非，在脑子里面想，以为已经懂了、可以解决了、就一厢情愿的很快的解决它，很快的看完那一本书，事实上这是欺骗自己，也不是训练基本功夫的方法。一个好的题目，你应当坐下来用笔写下来一步一步地想，结果你会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。当你弄清楚的时候，你去看你以前需要的定理在那里、怎么证的、我想你会慢慢了解整个学问的精义在哪里。所以说，动笔去做题目是很重要的，我们做大学生的时候还愿意做这个事，往往做研究生的时候，就以为了不起，毕业以后更不用讲，不会动手去写。一个题目在那里，我们很了不起地以为自己懂了，有些是很明显，但有些是似是而非，好像差不多了，事实上不是，里面有很多巧妙在里面。我们一定要动手去做，当你在一门课里面，基本功夫搞得很清楚以后，你就发现书里面很多是错的。在发现书本里的错误时，你的基本功夫也不错了。我们这个时代的学生不看课外书，连本身的教科书也不看，很使人失望。做研究大家晓得，自己要去找自己的思路。单单上课听听，听完以后不看书，做几个习题就算了，怎么用都做不好。因为你没有想自己的思路要怎样子走。我做大学生刚开始第一年半的时候，因为刚开始将数学严格化，我觉得很高兴。因为从整个logic看去，可以一点一点地推导，从前有些几何或分析上的问题，我觉得可以慢慢将它连起来，我觉得很高兴。我讲这个事情是什么原因呢？我觉得现在很多大学生或研究生对于宏观的数学看法并不热情。就想课本上有题目拿来，能够做完它，你就觉得很高兴。你没有整体地去想整个数学、或者整个几何、或者整个代数，我们须要研究的是什么事情？我们须要追求的是什么对象？我想去考虑这些事情其实并不会花你太多时间，可是你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非要有基本功夫不可，就算很琐碎的事情你都要晓得以后，才能对整个科学有一个基本的看法、一个大范围的看法。现在谈谈我个人的经验，我记得我念中学的时候我学了平面几何。大家都晓得平面几何很漂亮，我觉得很有意思。书本上的平面几何的问题大概我都懂得怎么做。可是我觉得还是不太够，所以我将很多基本的问题连在一起，之后开始慢慢想。去发现一些书本没有的问题，去想书本的方法能够有什么用处，是不是大部分平面几何上的问题都可以解决？我想找一些命题是这些方法没有办法解决的。我记得我初中的时候想过一个问题，我发觉没有办法去解决它。花了很多工夫去想，看了很多课外的书来帮忙，最后很高兴地找到一个本书讲那个问题不可能用圆规和直尺来解决，可以用代数的方法来证明。因为经过很多不同的想法，有半年的工夫，完全不晓得圆规和直尺解决不了这个问题，因此看到人家将这个问题解释清楚，就觉得很高兴；那时候是中学生，没有了解Galois理论，所以还是不太搞清楚是怎么证明的。可是我至少晓得有问题是不能用圆规和直尺解决的。也因为经过很长的思考，所以我开始对这类问题的了解清楚得多。也开始欣赏到做数学的精义。我想我们做一个习题或研究，我们最好花些工夫去想想着整个问题的来龙去脉，也多看一些参考书，这对你的帮助很大。因为数学无非是很多方法放在一起解决很多不同的问题。这是一个工具，我们了解一下这整个方法的局限，对基本功夫有很大的帮忙。基本功夫是一个工具，不是一个终点，是一个起步。基本功夫没搞清楚的话，没有办法去讲某个学问好，某个学问不好。记得从前在香港念大学的时候，当时的环境比现在差得很多，图书馆根本没有什么书，也没有什么很好的导师，但是还是看了很多课外书，也看了很多文章。但现在看来浪费了很多精力，这是眼界太浅，坐井观天，不知数学的发展与方向的缘故。以后我到berkeley，也看了很多文章，得益良多。一方面当地图书馆收藏丰富，一方面良师益友的交往，心中开始建立对数学的看法。我中学的时候，老师跟我们讲：好的书要看，不好的书也要看。数学里面不好的书我也看，你可能奇怪为什么不好的书我也看；我是觉得这样子，你一定要晓得什么是好的书，什么是不好的书，所以你看文章的时候，一定要搞清楚这个作者写文章并不见得是了不起的。有些作者，你晓得他的著作是了不起的可以多看，可是从不好的文章里面，你也可以看到许多现代的发展。因为有时候，从简单的写法里面，你反而看得比较容易一点，可是你一定要晓得他里面所讲的命题并不见得是有意思的，你一定要经过你自己大脑去搞清楚。可是他里面的组织往往是有的，普通水平的文章里面往往会引出有名的文章，也会介绍出有名的文章里面讲些什么事情，同时往往会写的比较容易看一点。因为它的水平比较低，它可以学一些大数学家的文章，你看了以后，很快就晓得怎么进出不同的地方，可以和好的文章比较。这是我自己的经验，你不一定要这样子做。
我的建议是大部份的时间看大数学家的作品，小部份时间浏览一般作品，并做比较。我当研究生的时候，有时候从早到晚都在图书馆里面看期刊、看书。当时因为在Berkeley没有研究室，研究生没有研究室很好，整天在图书馆里面坐。几乎主要期刊的文章我都看过，看过并不表示仔细的看，但至少有些主要的定理都看过。当时大部分都看不懂。看不懂没有什么关系。往往你要花很多工夫才能够在细节的部份搞清楚一篇好的文章。因为你第一眼看得懂的文章并不见得太好。并不是讲一定不好，简单的文章有时也有创见，多看文章让你晓得当时的人对于哪一个方向的问题有兴趣，对你有很大的帮助。有很多学生跑来问我问题，我跟他讲某某年有谁做过、做到什么阶段，他们听了很惊讶，为什么我晓得？没有谁讲给我听，是我自己在文章上看到。这很重要，因为你做研究的时候，你要晓得什么人做过、解过哪些
问题，对你的帮助很大。因为往往做研究的时候，你须要晓得得只是谁做过、在什么地方可以找到这个方面的文献，你以为有了这个帮助以后，你可以跑回去找这个文件。甚至你只要晓得那一年代谁碰过这个问题，对你也有很大的好处。有很多名家的文章往往比人家做快一步，就是因为他晓得谁做过这件事情，他可以去找这方面的文章，或者去找某个数学家帮忙，否则的话，做数学的有十几万人，你根本不晓得谁做过这个方面的问题，谁没有做过。所以在这方面多学一些人家做过的问题，无论出名的文章也好，差的文章也好，都看一看。我当然是建议你多看一些出名的文章，因为差的文章等于是消遣性，看武侠小说一样，看完就放在一边。你有追求的热情以后，慢慢地在将不同的看法放在一起。到了这个第一步以后，我觉得你可以开始找自己的题目。因为你开始晓得整个数学界主要在看什么问题。一个好
的数学家怎么找自己的问题是很重要的。当然有不同的找法，有些人要发展一套理论，有些人要解决难题，理论的目标最后还是要解决问题的，所以解决重要问题是发展一般理论中一个很重要的一环。举例来说，像Poincare Conjecture，它是三维拓扑中最主要的猜想，我们晓得前人花了很多心血去解决它，到了现在有很多不同的尝试方法，各自成一个气候。这个命题已经变成一门学科而不再是一个独立的问题。这是三维空间的结构问题，需要彻底解决此猜想才算圆满。另一方面有些人为什么对Poincare Conjecture 有兴趣，对其他问题兴趣不大，那是因为它是公认的难题。我想选题方面每个人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的数学家，他们只想解决出名的问题，我认为这是错误的选题方法。在数学上，我们应该有整个的有系统的想法，想整个数学目的在那里，应当解决什么样的问题。

你们可能都念过王国维讲的做大学问的三个阶段，第一阶段是晏殊说的 "昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路。" 这是王国维讲做大学问的第一个阶段，要解释这一段话，我要再说明基本功夫的重要性。如果基本功夫没有做好，你根本望不远。你叫中学生去望尽天涯路，根本是不可能的事，最后讲一些空谈的话。对数学或者科学上的历史不了解的话，你根本没有资格去谈以后的事。不是叫你去全部了解，至少有一定的了解。现在很多学生，尤其是研究生，我觉得比较头痛，教他做一个小题目，做了以后，一辈子不愿意放。不停的写小文章，写了文章当然可以发表，对某些年轻人来说讲，他认为这样子很好，不想重要的问题，今天能够写一篇小文章，明天能够写一篇小文章，就可以升级，假如不写出来的话，生活上会受到困挠。这都是对的，可是你真的要做一个好的题目，其实也不见得那么难。一些研
究生的论文是历史上有名的著作。为什么他们能够花三、四年的工夫，做出这么出色的工作？他们是从不懂到懂，然后还要再向前进。表示真的要做好的题目，并不是像你想象要花很多很多的时间才能够做到，问题是你的决心是怎么样。昨夜西风凋碧树，就是说你要望很远的话，要将前面小的树去掉，才能看的远。假如我们眼界里面看的都是小题目，永远都看不远。我们要懂得怎么放弃些渣滓，才能够做一些好的题目，我想这是一个很重要的事请。你不愿意放弃你明明晓得不会有前途的问题，就永远做不到好的问题。这是一个困难的选择，因为你觉得毕业、升级的问题，而不愿放弃你明明晓得不会有前途的问题，那你永远不会成就一个大学问的。我记得我刚学几何学的时候，当时流行的度量几何，所有工具都是三角比较定理来的，我始终觉得对几何的刻画不够深刻，后来我和我的朋友和学生开始一系列用到微分方程做工具的几何研究，我也很庆幸当时愿意放弃一些小的成果，走一条自己的路。我们选题的时候，可以跟出名的数学家、跟导师或者是从书上去看，可是最后的思考一定要有自己的想法才能做成大学问。因为你自己没有你自己的想法，你始终跟着人家走，是没有办法做好学问的。可是你可能没有资格做这一件事情，因为你对于这一门学问还不懂。我一开始讲了一大堆，就是因为我希望你们去想一想基本功夫要做好，要你对这一门学问里的不同命题要晓得。就像你去买货，你要晓得百货公司里面有可能出现什么东西，你才去挑。王国维谈学问的第二阶段是柳永的诗："衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。"寻找真理的热情就如年轻的恋人对自己的对象的追慕，那是很重要的事。在追求一个好的命题的时候，中间要花很多工夫，有时候甚至是很痛苦的。可是我们只要晓得，最后的成果是值得的，我们就会花很多工夫去做，就像爱情一样。很多年轻人找对象时，朝思暮想，当做学问却没有这种态度。假如你对做学问没有热情没有持久力的话，你就不可能做成大学问。其实屈原说"亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔。"比柳永更来得彻底。接着下来大家都晓得王国维的第三阶段是： "梦里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。"当然这是辛弃疾的诗，不是我讲的，可是基本上我们都有这种感觉。你真的做过一个好的文章的时候，就有这种感觉。我们花很多工夫做一个好的命题，有想法的时候，你考虑这个想法对不对有时候晚上睡不好，想得很辛苦。有时候想的辛苦了，就一睡睡很久，假如你做学问做到这个地步，你会解决很多意想不到的问题。我想没有人是特别聪明，可是你花了很多工夫，能够进入交通或清华大学，应当资质都不会太差。我想你花了那么多工夫进研究院，一定希望有一些成果。我们做学问跟爱情不太同，有时候不一定看到一个目标，而是看到其它。就像我刚才讲的，我们要解决Poincare conjecture，最后还没解决它，可是解决了其它的命题，这是数学历史上常常有的。每一个人都有这个经验，你明明要解决这个问题，结果发现解决了其它的问题。这是因为我们做这个题目的时候，不晓得走法对不对，可是你将这个工具全部搞好以后，基本的想法、有意思的想法你自己晓得以后，就可以解决很多问题了。在这个路上走的时候，思想不要太顽固。你要知道还有其他有意思的问题。就是你发展了一套想法以后，往往有其它的问题你刚好可以解决。可是也因此你要晓得，你在整个做研究的过程里面，你眼睛要睁开，眼睛怎
么睁开呢？很多学生不愿意去听colloquium，也不愿意去听其他人的 seminar。不听seminar就不晓得人家在做什么东西。明明你的方法可以解决他们在做的问题，但你眼睛闭起来、看不到，这是一个很大的困难。很多学生尤其是中国学生，讲我的论文是做这个，这个seminar与我的论文无关，我不愿意去听、不愿意去看、不愿意去跟人家来往、不愿意去跟人家谈。结果你做的论文可能不是你能解决的问题，可能你的方法刚好可以解决人家的问题。因为你不愿意去听、去看，你就解决不了问题。一个人的思维有限、能力有限，你不可能不靠人家的帮忙。什么是人家的帮忙呢？一方面是看文章，听seminar，一方面就是请教名家。你自己去请教别人的时候，百分之九十五人家不晓得你在做什么，也不可能提供你直接的意见。假如能够直接提供你意见，帮你直接地解决问题的话，你这个问题不见得是很重要的问题。
可见你刚开始没有搞清楚这个问题有多重要。但不要紧。多请教别人总是有好处，至少晓得这个问题有多好，还是不好。假如你怕发问，就在seminar或colloquium的时候要多听，多听对你的好处多得不得了。你在seminar里面就算听不懂的话，至少你在看他写的头两个字，你就晓得最近人家在做什么事情。你可能觉得莫名其妙，可是事实上你可以得到好处，这是很要紧的。所以能够有机会尽量去听不同的课，对你是有很大的好处；念纯数学的也应当去听应用数学或物理方面的课。听 seminar时，即使relax一天，也没有什么关系，反正总比在家里面无聊或看电视好。怎么在一个孤立的地方，也能够做一个好的学问。我举个例子来讲，十四年前，复旦大学有一位学生，他要来跟我，我答应了收他。结果因为当时复旦大学的校长怕留学生全部走掉了，所以不准他出国，因此他没有办法来跟我。但是他将我80年写的问题集，大概有一百题的样子，选了其中的一个题目去做，拼命的在做。我不晓得他拼
命的在做这一个题目，虽然他在一个比较孤立的地方，可是十多年来只做这一个题目，最后去年做出很重要的结果。我觉得很高兴，因为这一个题目是一个很不简单的问题。可见你只要找对了题目，同时你拼命的花工夫去做，就算你不跟人家来往的话，也不见得做不出来。当然我不知道他是不是完全不跟人家来往，因为复旦大学里面也有一些很不错的数学家。我想不可能全部都不跟人家来往。可是在交大、清华这些地方是不能讲是全部孤立的地方。在这个条件之下，我觉得绝对是可以做好的学问，只要我们将整个思路搞清楚、整个问题搞清楚。

今天讲的主要是我觉得来了五年，我想讲一讲我念书的经验，希望你能够参考，我是这样子的做法。可是不见得每一个人都要有这样子的做法，因为每一个数学家都有对学问不同的看法。你可以追随不同的路线，可是我想最开始所讲的基本工夫要做好，是永远少不掉的。然后要尽量去开发自己的领域，题目一定要做重要的。后来真的做得到的可能是比较小的结果。可是总比一开始只想做不重要的题目来得好。到了解决整个主要的问题以后，你的看法或对于整个学问的看法又不同，你会有不同的想法。今天就讲到这里，谢谢大家。