约瑟夫环问题两解

约瑟夫环问题(Josephus)
      用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）

解法一(My Solution)：
      思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。
代码：

/*
  约瑟夫环问题(Josephus)
  用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
  Code By Eric Yang 2009
  http://ericyang.cnblogs.com
 */
 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 
 // 链表节点
 typedef struct _RingNode
 {
     int pos;  // 位置
     struct _RingNode *next;
 }RingNode, *RingNodePtr;
 
 // 创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数
 void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count)
 {
     RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;
     int i = 1;
     pPrev = pHead;
     while(--count > 0)
     {
         pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
         i++;
         pCurr->pos = i;
         pPrev->next = pCurr;
         pPrev = pCurr;
     }
     pCurr->next = pHead;  // 构成环状链表
 }
 
 void PrintRing(RingNodePtr pHead)
 {
     RingNodePtr pCurr;
     printf("%d", pHead->pos);
     pCurr = pHead->next;
     while(pCurr != NULL)
     {
         if(pCurr->pos == 1)
             break;
         printf("\n%d", pCurr->pos);
         pCurr = pCurr->next;
     }
 }
 
 void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m)
 {
     RingNodePtr pCurr, pPrev;
     int i = 1;    // 计数
     pCurr = pPrev = pHead;
     while(pCurr != NULL)
     {
         if (i == m)
         {
             // 踢出环
             printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序
             pPrev->next = pCurr->next;
             free(pCurr);
             pCurr = pPrev->next;
             i = 1;
         }
         pPrev = pCurr;
         pCurr = pCurr->next;
         if (pPrev == pCurr)
         {
             // 最后一个
             printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序
             free(pCurr);
             break;
         }
         i++;
     }
 }
 
 int main()
 {
     int m = 0, n = 0;
     RingNodePtr pHead = NULL;
     printf("---------------Josephus Ring---------------\n");
     printf("N(person count) = ");
     scanf("%d", &n);
     printf("M(out number) = ");
     scanf("%d", &m);
     if(n <= 0 || m <= 0)
     {
         printf("Input Error\n");
         system("pause");
         return 0;
     }
     // 建立链表
     pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
     pHead->pos = 1;
     pHead->next = NULL;
     CreateRing(pHead, n);
 #ifdef _DEBUG
     PrintRing(pHead);
 #endif
 
     // 开始出圈
     printf("\nKick Order: ");
     KickFromRing(pHead, m);    
     printf("\n");
     system("pause");
     return 0;
 }

解法二(From Net)：
      思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include <stdio.h>
 int main()
 {
     int n, m, i, s = 0;
     printf ("N M = ");
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for (i = 2; i <= n; i++)
     {
         s = (s + m) % i;
     }
     printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
 }

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。