判断一个数是否是完全平方数

利用恒等式： 1+3+5+7+....+(2*n-1)=n^2

bool isSqrt(int n)
{
    for(int i=1;n>0;i+=2) n-=i;
    return 0 == n;
}

下面是一些关于完全平方数的数学性质：

对排除完全平方数有一定的加速作用：

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 
证明 奇数必为下列五种形式之一： 
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 
分别平方后，得 
(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1 
(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9 
(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 
(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 
(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 
证明 已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 
∴ k为奇数。 
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 
(2k)=4 
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。 
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。 
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得 
(3m)=9=3k 
(3m+1)=9+6m+1=3k+1 
(3m+2)=9+12m+4=3k+1 
同理可以得到： 
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。 
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。 
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位 数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果 得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。 
下面以四位数为例来说明这个命题。 
设四位数为，则 
= 1000a+100b+10c+d 
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d) 
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。 
对於n位数，也可以仿此法予以证明。 
关於完全平方数的数字和有下面的性质： 
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。 
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 
(9k)=9(9)+0 
(9k±1)=9(9±2k)+1 
(9k±2)=9(9±4k)+4 
(9k±3)=9(9±6k)+9 
(9k±4)=9(9±8k+1)+7 
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。 
证明 充分性：设b为平方数，则 
==(ac) 
必要性：若为完全平方数，=，则 
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。 
证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。 
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 
n^2 < k^2 < (n+1)^2 
则k一定不是完全平方数。 
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。