大整数的求和和乘积

简介：

    对于一些大的整数，由于计算机本身能够显示的内置数据类型精度有限，在处理一些比较大的整数运算时就不能适用。因此需要考虑用一些结构来辅助运算。一种典型的方式就是通过数组的方式来保存这些大整数。然后通过模拟手工运算的逐位运算。下面对整数的加法和乘法做一个总结。

加法：

位相加的关系：

    笼统的来说，加法中数组的每一个元素都对应着整数的每一位。当两个数相加的时候，要把前面的进位和当前的和相加，然后根据结果来进行进位。如果仔细考虑的话，会发现有如下的情况存在：

假设有两个数组a[], b[], 和进位标志carryBit.

如果a[i] + b[i] + carryBit > 当前的数制，则carryBit要置位，相加的结果要减去当前的数制。

比如a[i] = 5, b[i] = 7, carryBit = 1。考虑10进制的情况。则相加的结果为13. 那么根据讨论，后面一位的进位标志为1， 当前的结果为13 - 10 = 3.

    如果对上一步的讨论做进一步的提炼，我们会发现他们的运算实际上满足这么一个关系：

当前位的求和结果 = (a[i] + b[i] + carryBit) % 10,

下一位的进位标志(carryBit) = (a[i] + b[i] + carryBit) / 10

    对于更加通用的数制运算，我们可以发现有同样对应的关系：

 当前位的求和结果 = (a[i] + b[i] + carryBit) % 数制,

下一位的进位标志(carryBit) = (a[i] + b[i] + carryBit) / 数制。

数据的表示：

        在前面的逻辑关系理请之后，剩下的就是如何保存对应的数据了。一般我们展示的数字比如：12345，一般都是高位在前面，低位在后面。而在进行数组的加法运算的时候，需要从低位到高位，那么在数组中的保存方式比较合理的方式应该为int[] a = {5, 4, 3, 2, 1}.这样，当两个数组相加的时候，我们只要从数组的开头遍历就可以了。同时，因为我们保存数据的顺序和显示数据的顺序是相反的，如果后续需要显示对应的数字的话，则需要倒序输出。

        另外，两个数字相加之后，保存相加结果的数组长度必须要加1，这样才能保证有足够的空间将结果保存下来。

实现：

        考虑一种最简单的情况，假设两个数组的长度相同。有了前面的讨论，我们就可以很容易实现如下的方法：

public static int[] genericPlus(int[] a, int[] b, int numberSystem)
{
	int[] c = new int[a.length + 1];
	int carryBit = 0;
	for(int i = 0; i < a.length; i++)
	{
		c[i] = (a[i] + b[i] + carryBit) % numberSystem;
		carryBit = (a[i] + b[i] + carryBit) / numberSystem;
	}
	c[a.length] = carryBit;
	return c;
}

    当然，这是一种比较理想的情况。经过前面一些网友的指正，更通用的情况下还需要考虑两个数组长度不相同的情况。那么，一个详细的实现方法如下：

public static int[] comparePlus(int[] a, int[] b, int numberSystem)
{
	if(a.length == b.length)
	{
		// Common routine
		int[] c = new int[a.length + 1];
		int carryBit = 0;
		for(int i = 0; i < a.length; i++)
		{
			c[i] = (a[i] + b[i] + carryBit) % numberSystem;
			carryBit = (a[i] + b[i] + carryBit) / numberSystem;
		}

		c[a.length] = carryBit;

		return c;
	}
	else if(a.length > b.length)
	{
		// Routine 1
		int[] c = new int[a.length + 1];
		int carryBit = 0;
		int i;
		for(i = 0; i < b.length; i++)
		{
			c[i] = (a[i] + b[i] + carryBit) % numberSystem;
			carryBit = (a[i] + b[i] + carryBit) / numberSystem;
		}

		while(i < a.length)
		{
			c[i] = (a[i] + carryBit) % numberSystem;
			carryBit = (a[i] + carryBit) / numberSystem;
		}

		c[a.length] = carryBit;

		return c;
	}
	else
	{
		// Routine 2
	}
}

 这个部分的代码总的思路就是先判断两个数组的长度是否相同，如果相同则分配一个长度+1的数组，然后遍历数组，并将结果返回。在一个数组长度比另外一个大的情况下，则需要先遍历完短数组的那一段。剩下的部分遍历时则运算的结果变为：c[i] = (a[i] + carryBit) % numberSystem; carryBit = (a[i] + carryBit) / numberSystem;(这里假设a是长的那个)。剩下的那部分也可以照此类推。这里将三个条件的处理都放在一个方法里面了。实际代码里可以分别定义不同的方法来实现。

乘法：

        有了前面加法讨论的基础，再考虑乘法则相对方便一些了。我们在考虑一下原来乘法的思路。对于两个数组a[], b[]，假定结果数组为c[]。我们对数组相乘的步骤一般如下：

1. 取b[]中的一个元素，和a[]相乘，得到一个a.length + 1长度的中间数组。

经过遍历b[]，我们就得到b.length长度这么多个中间数组。

2. 对于这些中间数组，如果对应的是b[i]乘积的结果，则后面求和的时候将这个数组左移i位，然后和总结果数组c[]相加。

这样得到的结果就是乘积。对于两个数组相乘，其结果的长度为两个数组长度之和。

实现：

        经过前面的分析，我们可以得到如下的代码：

 

public static int[] arrayMultiply(int[] a, int[] b)
{
	int[] c = new int[a.length + b.length];

	for(int i = 0; i < b.length; i++)
	{
		// Generate a multiply result from b[i] * a
		int[] middleResult = new int[a.length + 1];
		int carryBit = 0;
		for(int j = 0; j < a.length; j++)
		{
			middleResult[j] = (b[i] * a[j] + carryBit) % 10;
			carryBit = (b[i] * a[j] + carryBit) / 10;
		}
		middleResult[a.length] = carryBit;
			
		// Plus middle result to c
		carryBit = 0;
		for(int k = 0; k < middleResult.length; k++)
		{
			int sum  = middleResult[k] + c[i + k] + carryBit;
			c[i + k] = sum  % 10;
			carryBit = sum / 10;
		}
	}
	return c;
}

注：前面这种实现只是针对10进制的方式。如果需要换成更加通用的方式，可以将10换成传进来的进制参数。当然函数签名也要做相应的修改。

另外，这种写法只是一个比较粗略的写法，从可读性的角度来说完全可以将生成中间结果数组和将中间结果数组加到最终结果数组的两部分分成两个方法。

 数据展示的问题：

        前面保存数据的时候是采用数组的方式，而且存储的方式和我们显示的方向是相反的。经过前面网友的提醒，在展示数据的时候，可能会存在一个问题。就是如果两个数相加的时候，并不一定会进位。前面的运算结果是直接分配了增加一个长度位的数组。当没有进位的时候，保存在最高位的数字是0. 因此，一种办法是在展示数字的时候，判断一下最高位来跳过这个0.

比如我们一个输出数组元素的方法，其实现则应该如下：

public static void printBinaryArrays(int[] array)
{
    if(array[array.length - 1] == 0)
    {
	for(int i = array.length - 2; i >= 0; i--)
		System.out.print(array[i]);
    }
    else
    {
        for(int i = array.length -1; i >= 0; i--)
            System.out.print(array[i]);
    }
    System.out.println();
}

 

总结：

        这里主要讨论了大整数的加法和乘法，对于减法来说，思路也很近似，相信看过这个之后大家也该知道怎么做了。当然，这种大整数的运算在本文里的实现并不是可以无穷大。目前的一个实现是长度最多到Integer.MAX_VALUE，也就是2^31 -1这么多位的数字。如果需要更多位数的话，可能就需要Long数据类型甚至一些自定义的类型了。这种问题本身不是很难，只是如果要在很短的时间内理清思路并不出问题，确实还是有点挑战性。前面kissinger同学曾经在这个问题上栽了，在此聊表慰问一下吧:)。

补充：

    一些相加和相乘的过程中，可能会出现的各种细节问题，比如长度限制，不同长度数据的运算等等。感谢前面一些网友的指正。

评论

10 楼 shihengli2010 2017-07-06  

while(i < a.length)
{
c[i] = (a[i] + carryBit) % numberSystem;
carryBit = (a[i] + carryBit) / numberSystem;
}
少了一个i++

9 楼 frank-liu 2013-01-15  

inta 写道

1、两个数据长度不一样未考虑
2、在数据长度相同的情况下你都是直接将新数组长度加1， 未做9+1这种临界情况的判断，产生的结果中的0 如何能知道是有用的数 还是没用的

非常感谢，已经在文中作了对应的修改。

8 楼 lv12312 2013-01-14  

inta 写道

1、两个数据长度不一样未考虑
2、在数据长度相同的情况下你都是直接将新数组长度加1， 未做9+1这种临界情况的判断，产生的结果中的0 如何能知道是有用的数 还是没用的

+1，漏洞比较多

7 楼 inta 2013-01-14  

1、两个数据长度不一样未考虑
2、在数据长度相同的情况下你都是直接将新数组长度加1， 未做9+1这种临界情况的判断，产生的结果中的0 如何能知道是有用的数 还是没用的

6 楼 frank-liu 2013-01-14  

zhukewen_java 写道

frank-liu 写道

zhukewen_java 写道

zhukewen_java 写道

虽然没看完，但楼主的代码是有bug的。有一处是在for循环那里

因为你标题敢写是大整数，所以我才敢指出这有bug。你的代码通不过边界测试。

for循环里面，能具体指明是哪个问题吗？前面的代码是比较笼统的写法，没有检查传入的数组是空或者长度为0的情况。

当大整数的很大时（比如位数达到了Integer.maxvalue），会发生整数越界的情况。

是的， 如果位数达到2^32及以上，理论上来说，光要用一个内置数据类型来表示位的长度都可能保存不下的。

5 楼 zhukewen_java 2013-01-14  

frank-liu 写道

zhukewen_java 写道

zhukewen_java 写道

虽然没看完，但楼主的代码是有bug的。有一处是在for循环那里

因为你标题敢写是大整数，所以我才敢指出这有bug。你的代码通不过边界测试。

for循环里面，能具体指明是哪个问题吗？前面的代码是比较笼统的写法，没有检查传入的数组是空或者长度为0的情况。

当大整数的很大时（比如位数达到了Integer.maxvalue），会发生整数越界的情况。

4 楼 frank-liu 2013-01-14  

zhukewen_java 写道

zhukewen_java 写道

虽然没看完，但楼主的代码是有bug的。有一处是在for循环那里

因为你标题敢写是大整数，所以我才敢指出这有bug。你的代码通不过边界测试。

for循环里面，能具体指明是哪个问题吗？前面的代码是比较笼统的写法，没有检查传入的数组是空或者长度为0的情况。

3 楼 zhukewen_java 2013-01-14  

zhukewen_java 写道

虽然没看完，但楼主的代码是有bug的。有一处是在for循环那里

因为你标题敢写是大整数，所以我才敢指出这有bug。你的代码通不过边界测试。

2 楼 frank-liu 2013-01-14  

zhukewen_java 写道

虽然没看完，但楼主的代码是有bug的。有一处是在for循环那里

你是指的乘法那一部分吗？愿闻其详。

1 楼 zhukewen_java 2013-01-14  

虽然没看完，但楼主的代码是有bug的。有一处是在for循环那里