半数集问题

问题描述：
给定一个自然数n，由n 开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。
(1) n∈set(n)；
(2) 在n 的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
例如，set(6)={6,16,26,126,36,136}。半数集set(6)中有6 个元素。
注意半数集是多重集。
算法设计：

对于给定的自然数n，计算半数集set(n)中的元素个数

解题思路

半数集的公式是

一 递归过程分析

通过分析所描述问题的特点可知，半数集set(n)中元素个数的求解是个递归的过程。设set(n)中的元素个数为f(n)，则显然有递归表达式：

f(n)=1+∑f(i)，i=1,2……n/2

据此，可很容易设计出求f(n)的递归算法如下：

int bsj(int n)<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

{<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>int ans=1；

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>if(n>1)

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>for(int i=1；i<=n/2；i++)

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>ans+=bsj(i)；

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>return ans；

}

对于此递归过程，是存在有缺陷的，即有很多的重复子问题计算。比如说：当n=4时，f(4)=1+f(1)+f(2)，而f(2)=1+f(1)，因此，在计算f(2)的时候又要重复计算一次f(1)。更进一步，当n较大时，类似的重复子问题计算将会变得非常多。

二 改进的递归算法

可以对如上的递归算法进行改进，用数组来存储已计算过的子问题结果，就可以避免重复，提高算法效率。改进的递归算法如下：

int bsj(int n)

{<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>int ans=1；

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>if(a[n]>0)<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>//避免重复计算的判断语句（在主函数中将数组a的元素全部初始化为0）

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>return a[n]；

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>for(int i=1;i<=n/2;i++)

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>ans+=bsj(i)；

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>a[n]=ans；

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>return ans；

}

#include<iostream>
long a[10001];
using namespace std;
int main()
{
   long bsj(int n);
   int n;
   while(cin>>n)
    {
       memset(a,sizeof(a),0);
       a[1]=1;
       cout<<bsj(n)<<endl;
    }
      return 0;
}
long bsj(int n)
{
   long ans=1;
   if(a[n]>0)
       return a[n];
   for(int i=1;i<=n/2;i++)
       ans+=bsj(i);
  a[n]=ans;
  return ans;
}

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><p></p> <br><p style="margin-top:0px; margin-bottom:0px; padding-top:0px; padding-bottom:0px"> <br></p> </wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>