指数，对数的基础知识

指数

 

指数在数学中代表着次方，也叫“幂”, 指乘方运算的结果。 n^m指将n自乘m次(根据七上课本该式意义为m个n相乘）。把n^m看作乘方的结果，叫做n的m次幂。

数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。

其中，n称为底数，m称为指数（写成上标）。当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，通常写成n^m或n**m，亦可以用低德纳箭号表示法，写成n↑m，读作“n的m次方”或者n的m次幂。

当指数为1时，通常不写出来，因为那和底的数值一样；指数为2、3时，可以读作“n的平方”、“n的立方”。

n^m的意义亦可视为1×n×n×n...:起始值1（乘法的单位元）乘底指数这么多次。这样定义了后，很易想到如何一般化指数0和负数的情况︰任何非零数数的零次方都是1，即n^0=1（n≠0）；幂的指数是负数时，即n^m=1/n^（-m），（m<0）
　　分数为指数的幂定义为x^m/n = n√x^m

因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法（科学计数法：将一个数字表示成 （a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|<10，n表示整数，这种记数方法叫科学记数法。）借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。

 

对数

如果 a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作 x=log(a) N .其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。且a>o，a≠1，N>0
将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把log(10) N 记为 lg N.
以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把log(e) N 记为 ln N.

python中的数学函数
在python中通过pow()计算指数，比如2^3 使用pow(2,3)=8

通过math的log()来计算对数， 比如math.log(8,2) =3

 

指数的图形

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28+t^1.5%2Ct^1.8%2Ct^2%29+where+t%3D0..12

不同的指数具有不同的陡峭程度

 

对数的图形

对数比较常用的是log10,图形：http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28+log10%28t%29+%29+where+t%3D0..1000

假设我们有一个用户点击数对排名影响的场景，对于一个新帖子，刚开始点击量上升应该对排名的影响应该很大，而如果点击数已经上千时，这时候新点击数对排名应该应该影响不大。这种需求就可以通过对数来实现。

以10为底的对数：

• 1分只需要10个点击 math.log(10,10)
• 2分只需要100个点击 math.log(100,10)
• 3分却需要1000个点击math.log(1000,10)

 

 

指数的使用场景

 

在一些需要平滑降低某个值时非常有用，比如排名，参考：http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/02/ranking_algorithm_hacker_news.html