12球太少，我3次能称14球，不相信？我还4次称41球，5次122球……

这个题目很久以前在大学的BBS上发表过解法，现在找不到了，重新写一遍也不费劲。

下面是怎么称14个球（设为A1-A14）。
前提是有多一个标准球A0。

A0-A4 vs A5-A9
如果相等，则坏球在A10-A14这5个球中。

5球（重新记做A1-A5外加一个A0为标准球）的称法如下：
A0,A1 vs A2,A3
如果相等，则坏球是A4或A5，取其中一个与A0再称一次即可判断（这个不用说了，人人都知道怎么称）。
如果不等，假设A0,A1 > A2,A3（<的话，下面的判断都反一反即可），则再称一次：
A2 vs A3
如果相等，则坏球是A1，否则A1就是好球，坏球在A2、A3中，根据上一次称量结果可以判断出，坏球比标准球轻，所以A2 vs A3的结果，轻的那个就是坏球。

如果第一次称量不等，则坏球在A1-A9这9个球中，并且你知道一个不等关系，我们假设是A0-A4 > A5-A9（<的话，下面的判断都反一反即可）。

然后测A1,A2,A5 vs A3,A4,A6
如果相等，则坏球在A7,A8,A9中，并且可以推导出其中轻的那个是坏球，再称一次肯定能找出坏的那个。
如果A1,A2,A5 > A3,A4,A6
则坏球在A1,A2,A6中，并且可以推导出A1,A2 > A0,A6
反之坏球在A5,A3,A4中，并且可以推导出A5,A0 < A3,A4
不难看出这两种情况实际是等价的，只需比较两个同处一侧的球就可以判断哪个是坏球了。


如果没有标准球A0的话，那第一次称量就不能5对5了，只能4对4，所以最多只能称13个球。第一次相等的情况跟前面完全一样，如果不等，就是那8个球有问题，比前面的9个还少一个，所以你肯定可以称出来。那么为什么常见的题目都是12球呢？估计最初流传时很少有人真正从理论（信息论）上理解这个题，所以答案都是凑出来的，自然很难做到最优化。

但是如果掌握了理论，这个称球问题就可以推广，比如4次最多可以称量27+14=41个。前提也是你多一个标准球，这样第一次称量就是14 vs 13+1，如果相等，坏球就在剩下的14个里，就转化为了前面描述的14球称量问题。如果不等，则坏球在27个里，通过合理调配，你肯定可以把它们区别成3组分别9个，通过一次称量判断出坏球到底是在哪9个球中。因为一次称量有3种状态，可以把一堆球分成3组。以下每次都是3组1分，所以27=3的3次方就是表示3次称量就可以区分出来了。

不难看出，如果5次的话，可以最多称量27*3+41=122个，以下可以逐级类推，有兴趣的同志可以求出它的公式。

最后是一个思考题，既然可以3个一组分，为什么3次称量只能称14个而不是27个呢？

评论

3 楼 hax 2008-03-03  

要称出是轻还是重确实就只能12个了。因为1次只能判断1个，2次最多只能判断4个（排除了所有称量结果都相等之后所剩下的那个，因为你不知道它是轻是重）。

2 楼 foxgst 2008-03-03  

12球3次，可以判断出坏球是轻还是重。
你的称法找出坏球，但没有判断是轻还是重（看了一半，没看完...）。

1 楼 hax 2008-03-03  

BTW，我要坦白一下：这个信息论的解说并非我的个人创造，而是中学时候从《科学》杂志（并非Science，而是科普读物Scientific America的中文版）上看来的。