《动态规划》之--字符串比较问题（扩展距离）

问题：

对于长度相同的2个字符串A和B，其距离定义为相应位置字符距离之和。2个非空格字符的距离是它们的ASCII码之差的绝对值；空格与空格的距离为0，空格与其他字符的距离为一个定值k。在一般情况下，字符串A和B的长度不一定相同。字符串A的扩展是在A中插入若干空格字符所产生的字符串。在字符串A和B的所有长度相同的扩展中，有一对距离最短的扩展，该距离称为字符串A和B的扩展距离。对于给定的字符串A和B，设计一个算法，计算其扩展距离。

测试数据：

输入：cmc snmn 2 （分别表示字符串A、B和定值k）

输出：10

解答：

设字符串A和B的字串A[1...i]和B[1...j]的扩展距离是val(i, j)；

依题意，字符串A和B有三种可能的情况：

1）A串最后一个字符是空格，B串最后一个字符是字母，则val(i, j) = val(i-1, j) + k；

2）A串最后一个字符时字母，B串最后一个字符时空格，则val(i, j) = val(i, j-1) + k；

3）A串和B串最后一个字符均是字母，则val(i, j) = val(i-1, j-1) + dist(a_i , b_i)；

由上可知，val(i, j)具有最优子结构性质，且满足如下递推式：

val(i, j) = min{ val(i-1, j) + k，val(i, j) + k，val(i-1, j-1) + dist(a_i , b_i) }

（使用动态规划算法，自底向上的计算各个子问题并利用每次计算的结果，避免重复运算，从而降低算法复杂度。）

从动态规划递归式可知，算法的时间复杂度为O（mn），m和n分别是字符串A和B的长度。

代码如下：

#include <iostream>

#include <cmath>

#define MAX 100000 //标识最大的可能整数

int val[300][300];

std::string stra; //字符串A

std::string strb; //字符串B

int k; //定值k

//返回字符a与b的ASCII码的差的绝对值

int dist(char a, char b)

{

return abs(a-b);

}

int comp()

{

int len1, len2;

int tmp;

val[0][0] = 0;

len1 = stra.length();

len2 = strb.length();

for(int i=0; i<=len1; i++) //字符串A和B的有效下标是º1~len,下标0表示空字符串

{ //i或j是0表示A或B串为空串

for(int j=0; j<=len2; j++)

{

if(i+j)//i和j至少一个大于0

{

val[i][j] = MAX;

tmp = val[i-1][j] + k;

if(i && (tmp<val[i][j]))//i大于0

val[i][j] = tmp;

tmp = val[i][j-1]+k;

if(j && (tmp<val[i][j]))//j大于0

val[i][j] = tmp;

tmp = val[i-1][j-1] + dist(stra[i], strb[j]);

if((i*j) && (tmp<val[i][j])) //i和j至少有一个不为0

val[i][j] = tmp;

}

}

}

return val[len1][len2];

}

int main()

{

std::cin>>stra>>strb>>k;

stra = " " + stra; //此处在字符串开头添加一个空格，是为了使字符串stra

strb = " " + strb; //的控制台输入的有效字符下标从1到stra.length()

std::cout<<comp()<<std::endl;

system("pause");

return 0;

}