图像的时频变换——离散余弦变换

研究过离散傅里叶变换的，都会觉得离散余弦变换的会更简单，不过不知道为什么网上却没有像离散傅里叶变换那样多的介绍，还得下次找本书好好钻研，后再补充。

二维离散余弦变换的正变换公式为：

在图像的压缩编码中，N一般取8．

二维DCT的反变换公式为：

以上各式中的系数：

 

基于DCT的JPEG图像压缩编码理论算法 基于DCT编码的JPEG编码压缩过程框图，如图1所示。

图1  基于DCT编码的JPEG压缩过程简化图

上图是基于DCT变换的图像压缩编码的压缩过程，解压缩与上图的过程相反。

在编码过程中，首先将输入图像颜色空间转换后分解为8×8大小的数据块，然后用正向二维DCT把每个块转变成64个DCT系数值，其中1个数值是直流(DC)系数，即8×8空域图像子块的平均值，其余的63个是交流(AC)系数，接下来对DCT系数进行量化，最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，这样就完成了图像的压缩过程。

从原理上讲可以对整幅图像进行DCT变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理的方式效果不好。为此，发送者首先将输入图像分解为8*8或16*16块，然后再对每个图像块进行二维DCT变换，接着再对DCT系数进行量化、编码和传输；接收者通过对量化的DCT系数进行解码，并对每个图像块进行的二维DCT反变换。最后将操作完成后所有的块拼接起来构成一幅单一的图像。

所以DCT是对二维像素数组进行处理，下面附上程序：

     * in_image  输入图像矩阵
     * iw, ih    输入图像宽高
     * bsize     bsizeXbsize图像块DCT变换
     * type      type = 1为正DCT变换, type =-1为逆变换
     *------------------------------------------------------------*/
    public double[][] dctTrans(double[][] img, int iw, int ih, int bsize, int type)
    {
        int iter_num = 256 / bsize;
        dct_image = new double[iw][ih];
        dct_coef  = new double[bsize][bsize];
        dct_coeft = new double[bsize][bsize];
        image = new double[bsize][bsize];
        
        coeff(dct_coef, bsize);
        
        //定义转置矩阵系数
        for (int i = 0; i < bsize; i++)
            for (int j = 0; j < bsize; j++)
                dct_coeft[i][j] = dct_coef[j][i];

        if (type == 1)
        {        	
            for (int j = 0; j < iter_num; j++)
            {
                for (int i = 0; i < iter_num; i++)
                {
                    //取bsizeXbsize图像块image[][]
                    for (int k = 0; k < bsize; k++)
                        for (int l = 0; l < bsize; l++)                            
                            image[k][l] = img[i * bsize + k][j * bsize + l];
                     
                    //bsizeXbsize块DCT变换
                    dct(image, dct_coeft, dct_coef, bsize);//正变换
                    
                    //Output dct image
                    for (int k = 0; k < bsize; k++)
                        for (int l = 0; l < bsize; l++)
                            dct_image[i * bsize + k][j * bsize + l] = image[k][l];
                }
            }
        }
        else 
        {
            for (int j = 0; j < iter_num; j++)
            {
                for (int i = 0; i < iter_num; i++)
                {
                    //取bsizeXbsize图像块image[,]
                    for (int k = 0; k < bsize; k++)
                        for (int l = 0; l < bsize; l++)
                            image[k][l] = img[i * bsize + k][j * bsize + l];

                    //bsizeXbsize块IDCT变换
                    dct(image, dct_coef, dct_coeft, bsize);//逆变换
                    
                    //Output dct image
                    for (int k = 0; k < bsize; k++)
                        for (int l = 0; l < bsize; l++)
                            dct_image[i * bsize + k][j * bsize + l] = image[k][l];
                }
            }                
        }
        return dct_image;
    }

    public void coeff(double[][] dct_coef, int n)
    {
        double sqrt_1 = 1.0 / Math.sqrt(2.0);

        for (int i = 0; i < n; i++)
            dct_coef[0][i] = sqrt_1;

        //初始化DCT系数
        for (int i = 1; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                dct_coef[i][j] = Math.cos(i * Math.PI * (j + 0.5) / ((double)n));
    }

    public void dct(double[][] a, double[][] b, double[][] c, int n)
    {
        double x;
        double[][] af = new double[n][n];

        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n; j++)
            {
                x = 0.0;
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    x += a[i][k] * b[k][j];
                af[i][j] = x;
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n; j++)
            {
                x = 0.0;
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    x += c[i][k] * af[k][j];
                a[i][j] = 2.0 * x / ((double)n);
            }
        }
    }

 

实验效果如下：