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模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译,模运算多应用于程序编写中。 Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用,从奇偶数的判别到素数的判别,从模幂运算到最大公约数的求法,从孙子问题到凯撒密码问题,无不充斥着模运算的身影。
例如11 Mod 2,值为1
上述模运算多用于程序编写,举一例来说明模运算的原理:
Turbo Pascal对mod的解释是这样的:
A Mod B=A-(A div B) * B (div含义为整除)
基本理论
基本概念:
给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 n = kp + r ;
其中k、r是整数,且 0 ≤ r < p,称呼k为n除以p的商,r为n除以p的余数。
对于正整数p和整数a,b,定义如下运算:
取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。
模p加法:(a + b) % p ,其结果是a+b算术和除以p的余数,也就是说,(a+b) = kp +r,则(a + b) % p = r。
模p减法:(a-b) % p ,其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法:(a * b) % p,其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明:
1. 同余式:正整数a,b对p取模,它们的余数相同,记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。
基本性质
(1)若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)
(2)(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
(3)对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
(4)传递性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,则a≡c (% p)
运算规则
模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p (4)
结合率: ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)
交换率: (a + b) % p = (b+a) % p (7)
(a * b) % p = (b * a) % p (8)
分配率: ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)
重要定理:若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)
若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)
若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),
(a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)
若a≡b (% p),则对于任意的c,都有ac≡ bc (%p); (13)
基本应用
1.判别奇偶数
奇偶数的判别是模运算最基本的应用,也非常简单。易知一个整数n对2取模,如果余数为0,则表示n为偶数,否则n为奇数。
2.判别素数
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。例如 2,3,5,7 是质数,而 4,6,8,9 则不是,后者称为合成数或合数。
判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法:用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数,若该自然数能被整除,则说明其非素数。
C++实现功能函数:
/* 函数名:IsPrime 函数功能:判别自然数n是否为素数。 输入值:int n,自然数n 返回值:bool,若自然数n是素数,返回true,否则返回false */ bool IsPrime(unsigned int n) { unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子 for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++) { if (n % i == 0) //n能被i整除,则说明n非素数 { return false; } } return true; }
3. 最大公约数
求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法(又称辗转相除法),其计算原理依赖于定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。
C++实现功能函数:
/* 函数功能:利用欧几里德算法,采用递归方式,求两个自然数的最大公约数 函数名:Gcd 输入值:unsigned int a,自然数a unsigned int b,自然数b 返回值:unsigned int,两个自然数的最大公约数 */ unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b) { if (b == 0) return a; return Gcd(b, a % b); } /* 函数功能:利用欧几里德算法,采用迭代方式,求两个自然数的最大公约数 函数名:Gcd 输入值:unsigned int a,自然数a unsigned int b,自然数b 返回值:unsigned int,两个自然数的最大公约数 */ unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b) { unsigned int temp; while (b != 0) { temp = a % b; a = b; b = temp; } return a; }
4.模幂运算
利用模运算的运算规则,我们可以使某些计算得到简化。例如,我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来,那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555(%10),所以问题就简化了。
根据运算规则(4)a^b% p = ((a % p)^b) % p ,我们知道3333^5555(%10)= 3^5555(%10)。由于3^4 = 81,所以3^4(%10)= 1。
根据运算规则(3) (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ,由于5555 = 4 * 1388 + 3,我们得到3^5555(%10)=(3^(4*1388) * 3^3)(%10)=((3^(4*1388)(%10)* 3^3(%10))(%10)
=(1 * 7)(%10)= 7。
计算完毕。
利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1,然后重复将result乘以X,每次乘法之后应用%运算符(这样使得result的值变小,以免溢出),执行N次相乘后,result就是我们要找的答案。
这样对于较小的N值来说,实现是合理的,但是当N的值很大时,需要计算很长时间,是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。
如果N是偶数,那么X^N =(X*X)^[N/2];
如果N是奇数,那么X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];
其中[N]是指小于或等于N的最大整数。
C++实现功能函数:
/* 函数功能:利用模运算规则,采用递归方式,计算X^N(% P) 函数名:PowerMod 输入值:unsigned int x,底数x unsigned int n,指数n unsigned int p,模p 返回值:unsigned int,X^N(% P)的结果 */ unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p) { if (n == 0) { return 1; } unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //递归计算(X*X)^[N/2] if ((n & 1) != 0) //判断n的奇偶性 { temp = (temp * x) % p; } return temp; }
5.《孙子问题(中国剩余定理)》
在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是,“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合这个条件的最小数。”
这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法,国际上称为“中国剩余定理”.
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:
三人同行七十稀,五树梅花甘一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。
这四句口诀暗示的意思是:当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
根据剩余定理,我把此种解法推广到有n(n为自然数)个除数对应n个余数,求最小被除数的情况。输入n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数,计算机将输出最小被除数。
C++实现功能函数:
/* 函数名:ResidueTheorem 函数功能:运用剩余定理,解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数,返回最小被除数 输入值:unsigned int devisor[],存储了n个除数的数组 unsigned int remainder[],存储了n个余数的数组 int length,数组的长度 返回值:unsigned int, 最小被除数 */ unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length) { unsigned int product = 1; //所有除数之乘积 for (int i=0; i<length; i++)//计算所有除数之乘积 { product *= devisor[i]; } //公倍数数组,表示除该元素(除数)之外其他除数的公倍数 unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length); for (int i=0; i<length; i++)//计算除该元素(除数)之外其他除数的公倍数 { commonMultiple[i] = product / devisor[i]; } unsigned int dividend = 0; //被除数,就是函数要返回的值 for (int i=0; i<length; i++)//计算被除数,但此时得到的不是最小被除数 { unsigned int tempMul = commonMultiple[i]; //按照剩余理论计算合适的公倍数,使得tempMul % devisor[i] == 1 while (tempMul % devisor[i] != 1) { tempMul += commonMultiple[i]; } dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数 } delete []commonMultiple; return (dividend % product); //返回最小被除数 }
6. 凯撒密码
凯撒密码(caeser)是罗马扩张时期朱利斯o凯撒(Julius Caesar)创造的,用于加密通过信使传递的作战命令。
它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用,z的后面可以看成是a。
例如,当密匙为k = 3,即向后移动3位时,若明文为”How are you!”,则密文为”Krz duh btx!”。
凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下:
在这里,我们做此约定:明文记为m,密文记为c,加密变换记为E(key1,m)(其中key1为密钥),
解密变换记为D(key2,m)(key2为解密密钥)(在这里key1=key2,不妨记为key)。
凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换:c≡m+key (mod n) (其中n为基本字符个数)
同样,解密过程可表示为:m≡c+key (mod n) (其中n为基本字符个数)
C++实现功能函数:
/* 函数功能:使用凯撒密码原理,对明文进行加密,返回密文 函数名:Encrypt 输入值:const char proclaimedInWriting[],存储了明文的字符串 char cryptograph[],用来存储密文的字符串 int keyey,加密密匙,正数表示后移,负数表示前移 返回值:无返回值,但是要将新的密文字符串返回 */ void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key) { const int NUM = 26; //字母个数 int len = strlen(proclaimedInWriting); for (int i=0; i<len; i++) { if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z') {//明码是大写字母,则密码也为大写字母 cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a'; } else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z') {//明码是小写字母,则密码也为小写字母 cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A'; } else {//明码不是字母,则密码与明码相同 cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i]; } } cryptograph[len] = '\0'; } /* 函数功能:使用凯撒密码原理,对密文进行解密,返回明文 函数名:Decode 输入值:char proclaimedInWriting[],用来存储明文的字符串 const char cryptograph[],存储了密文的字符串 int keyey,解密密匙,正数表示前移,负数表示后移(与加密相反) 返回值:无返回值,但是要将新的明文字符串返回 */ void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key) { const int NUM = 26; //字母个数 int len = strlen(cryptograph); for (int i=0; i<len; i++) { if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z') {//密码是大写字母,则明码也为大写字母,为防止出现负数,转换时要加个NUM proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a'; } else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z') {//密码是小写字母,则明码也为小写字母 proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A'; } else {//密码不是字母,则明码与明密相同 proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i]; } } proclaimedInWriting[len] = '\0'; }
模运算及其简单应用就先讲到这了,其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛,我这这里搜集整理了一些最最基本的情形,希望能够起到一个抛砖引玉的作用,让更多的人关注模运算,并及其应用到更广阔的领域中。
http://baike.baidu.com/view/2385246.htm#ref_[1]_2385246
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