tianshuai11
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【编程之美】区间重合判断（线段树）
一，问题：
1. 给定一个源区间[x,y]和N个无序的目标区间[x1,y1] [x2,y2] ... [xn,yn]，判断源区间[x,y]是不是在目标区间内。
2. 给定一个窗口区域和系统界面上的N个窗口，判断这个窗口区域是否被已有的窗口覆盖。
二，解法：
问题一：
先用区间的左边界值对目标区间进行排序O(nlogn)，对排好序的区间进行合并O(n)，对每次待查找的源区间，用二分查出其左右两边界点分别处于合并后的哪个源区间中O(logn)，若属于同一个源区间则说明其在目标区间中，否则就说明不在。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Line
{
int low, high;
bool operator<(const Line &l) const
{return low<l.low;}
};
#define MAXN 10001
Line lines[MAXN]; // 目标区间
int ncnt = 0; // 合并后区间的个数
#define N 101
Line sl[N]; // 待查询的源区间
// 用二分查找找出key所在的区间，以区间的low作为划分
int GetIndex(int key)
{
int u, v;
u = 0; v = ncnt-1;
while (u<=v) // u,v可取等号
{
int m = (u+v)>>1;
if (key >= lines[m].low)
u = m+1;
else
v = m-1;
}
return v;
}
int main()
{
int n, k, i, j;
cin >> n >> k; // n是目标区间的个数,k是待查询的源区间的个数
for (i=0; i<n; i++)
cin >> lines[i].low >> lines[i].high;
for (i=0; i<k; i++)
cin >> sl[i].low >> sl[i].high;
// 排序O(nlogn)
sort(lines, lines+n);
// 合并O(n)
int lasthigh = lines[0].high;
for (i=1; i<n; i++)
if (lasthigh >= lines[i].low)
lasthigh = lines[i].high;
else
{
lines[ncnt++].high = lasthigh;
lines[ncnt].low = lines[i].low;
lasthigh = lines[i].high;
}
lines[ncnt++].high = lasthigh;
for (i=0; i<k; i++)
{
// 单词查找时间O(logn)
int s1 = GetIndex(sl[i].low);
int s2 = GetIndex(sl[i].high);
if (s1==s2 && sl[i].high <= lines[s2].high)
printf("Yes\n");
else
printf("No\n");
}
}
法二：使用并查集，对每个区间合并到一个子树上，最后判断源区间的x和y的根是否相同。
#include<iostream>
using namespace std;
const int size = 100;
int father[size];
int rank[size];
void make_set(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; i ++){
father[i] = i;
rank[i] = 1;
}
}
int find_set(int x)//寻找代表元素
{
if(x != father[x]){ //元素不是单独的段，在某个区间内，返回某个区间代表
father[x] = find_set(father[x]);
}
return father[x];
}
void Union(int x, int y)
{
x = find_set(x);
y = find_set(y);
if(x == y){ //两个在同一个区间
return ;
}
if(rank[x] < rank[y]){
father[x] = y;
}
else{
father[y] = x;
if(rank[x] == rank[y]){
rank[x] ++;
}
}
}
int main()
{
int x1, y1;
cin >> x1 >> y1;//输入要判断区间
int x, y;
int n;
cin >> n; //区间的个数
make_set(size);
while(n --){
cin >> x >> y; //输入每个区间
if(x > y){//这一步很关键，表示考虑的周到
swap(x, y);
}
for(int i = x + 1; i <= y; i++){//将区间内的 段合并到已有区间
Union(x, i);
}
}
if(find_set(x1) == find_set(y1)){
cout << "yes" << endl;
}
else{
cout << "no" << endl;
}
system("pause");
}
（1,3）结合后 father[1-3]=1 rank[1]=2;其余为1
（2,4）结合后 fahter[1-4]=1 rank[1]=2 ;其余为1
说明：（1，4）为整个区间，代表为1
法三：将无序的目标区间排序后，再合并成几个有序的区间，然后把源区间和有序的目标区间比较。
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef pair<int, int> section;
bool cmp(section a, section b)
{
return a.first < b.first;
}
int main()
{
section src, tmp;
cin >> src.first >> src.second; //要查找的
vector<section> v;
while(cin >> tmp.first >> tmp.second, tmp.first | tmp.second){
v.push_back(tmp);
}
sort(v.begin(), v.end(), cmp);//按第一个域，从小到大排序
vector<section> res;
vector<section>::iterator it = v.begin();
int begin = it->first;//记录区间的开始部分
int end = it->second;//记录区间的开始部分
if((it+1)==v.end()) //如果只有一个区间
res.push_back(make_pair(begin, end));
else
{
it ++;
for(; it != v.end(); it++){
if(end <= it->first){ //如果第一个pair 的第二个元素，小于下一个pair 的第一个元素。
res.push_back(make_pair(begin, end)); //插入第一个区间
begin = it->first;
end = it->second;
}
else if( (end > it->first) && (end <=it->second))
{
//res.push_back(make_pair(begin, end); //插入第一个区间
//begin = it->first;
end = it ->second;
if((it+1)==v.end())
res.push_back(make_pair(begin, end));
}
}
}
bool solve = false;
it = res.begin();
for(; it != res.end(); it ++){
if(src.first >= it->first && src.second <= it->second){
solve = true;
break;
}
}
if(solve){
cout << "in" << endl;
}
else{
cout << "out" << endl;
}
system("pause");
}
问题二解法：
这个问题适合使用线段树来解答，单次查找的时间复杂度为O(nlogn)，当然也能用数组解答，但单次查找的时间复杂度会增加到O(n^2)。这里我们直接使用线段树来解答。
线段树是一棵二叉树，将数轴划分成一系列的初等区间[I, I+1] (I=1,2,..,N-1)。每个初等区间对应于线段树的一个叶结点。线段树的内部结点对应于形如[ I, J ](J – I > 1)的一般区间。由于线段树给每一个区间都分配了结点，利用线段树可以求区间并后的总长度与区间并后的线段数。先给出测试数据（前4行是系统界面上已有的N个窗口，之后的一行是待测试的窗口区域），后面是代码：
4
-15 0 5 10
-5 8 20 25
15 -4 24 14
0 -6 16 4
2 15 10 22
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 线段树的结点
struct SegNode
{
int low, high; // 线段的两端点索引
int ncover; // 线段被覆盖的次数
SegNode *left; // 结点的左子树
SegNode *right; // 结点的右子树
SegNode() {low=high=0;ncover=0;
left=right=NULL;}
};
// 构造线段树，它是一个完全二叉树
void BuildSegTree(SegNode *&tree, int *index, int low, int high)
{
if (low < high)
{
tree = new SegNode;
tree->low = low;
tree->high = high;
if (high-low>1)
{
int m = (low+high)/2;
BuildSegTree(tree->left, index, low, m);
BuildSegTree(tree->right, index, m, high);
}
}
}
// 往线段树中插入线段，即用线段(low,high)来覆盖线段树
void InsertSegTree(SegNode *tree, int low, int high)
{
// 先序遍历
if (low<=tree->low && tree->high<=high)
tree->ncover++;
else if (tree->high-tree->low > 1)
{
int m = (tree->low+tree->high)/2;
if (low < m) InsertSegTree(tree->left, low, high);
if (m < high) InsertSegTree(tree->right, low, high);
}
}
// 从线段树中删除线段
void DeleteSegTree(SegNode *tree, int low, int high)
{
if (low<=tree->low && tree->high<=high)
tree->ncover--;
else if (tree->high-tree->low > 1)
{
int m = (tree->low+tree->high)/2;
if (low < m) DeleteSegTree(tree->left, low, high);
if (m < high) DeleteSegTree(tree->right, low, high);
}
}
// 线段树中是否包含线段(low,high)
bool FindSegTree(SegNode *tree, int low, int high)
{
// 若当前区间被覆盖，且线段(low,high)属于当前区间则返回覆盖
if (tree->ncover && tree->low <= low && high <= tree->high )
return true;
// 若(low,high)没被当前区间覆盖，则将其分为两段，
// 分别考虑是否被子结点表示的区间覆盖
else if (tree->high - tree->low > 1)
{
int m = (tree->low + tree->high) >> 1;
bool ret = true;
if (low<m) ret = FindSegTree(tree->left, low, high<m?high:m);
if (!ret) return false;
if (m<high) ret = FindSegTree(tree->right, m<low?low:m, high);
if (!ret) return false;
return true;
}
return false;
}
#define LEFT true
#define RIGHT false
#define INF 10000
// 表示竖直方向的线段
struct Line
{
int starty, endy; // 竖线的长度
int x; // 竖线的位置
bool inout; // 竖线是长方形的左边还是右边
bool operator<(const Line& a) const{ // 依据x坐标进行排序
return x<a.x;
}
};
// 所有竖直方向的线段
Line lines[INF];
// 对横向超元线段进行分组
int index[INF];
int nCnt = 0;
// 获取key的位置
int GetIndex(int key)
{
// 用二分查找查出key在index中的位置
return lower_bound(index,index+nCnt,key)-index;
}
// 获取key的位置或比它小的最大数的位置
int GetLower(int key)
{
size_t pos = lower_bound(index,index+nCnt,key)-index;
if (key == index[pos]) return pos;
else return pos-1;
}
// 获取key的位置或比它大的最小数的位置
int GetUpper(int key)
{
return lower_bound(index,index+nCnt,key)-index;
}
int main()
{
int nRec;
cin >> nRec;
int i, j;
int x[2], y[2];
// 读取nRec个窗口的数据
for (i=0; i<nRec; i++)
{
cin >> x[0] >> y[0] >> x[1] >> y[1];
// 记录每个长方形的两条竖直边
lines[2*i].x=x[0]; lines[2*i+1].x=x[1];
lines[2*i].starty=lines[2*i+1].starty=min(y[0],y[1]);
lines[2*i].endy=lines[2*i+1].endy=max(y[0],y[1]);
lines[2*i].inout=LEFT; lines[2*i+1].inout=RIGHT;
// 对竖直的线段进行离散化
index[2*i]=y[0]; index[2*i+1]=y[1];
}
// 待查询的窗口区域
Line search[2];
cin >> x[0] >> y[0] >> x[1] >> y[1];
search[0].x=x[0]; search[1].x=x[1];
search[0].starty=search[1].starty=min(y[0],y[1]);
search[0].endy=search[1].endy=max(y[0],y[1]);
search[0].inout=LEFT; search[1].inout=RIGHT;
// 对x坐标进行排序O(nlogn)
sort(index, index+2*nRec);
sort(lines, lines+2*nRec);
// 排除index数组中的重复数据O(n)
for (i=1; i<2*nRec; i++)
if (index[i]!=index[i-1])
index[nCnt++] = index[i-1];
index[nCnt++] = index[2*nRec-1];
// 建立线段树
SegNode *tree;
BuildSegTree(tree, index, 0, nCnt-1);
// 单词查找的时间复杂度为O(nlogn)
bool res;
InsertSegTree(tree, GetIndex(lines[0].starty), GetIndex(lines[0].endy));
for (i=1; i<2*nRec; i++)
{
if (lines[i].inout==LEFT) // 遇窗口的左边界，将其加入线段树
InsertSegTree(tree, GetIndex(lines[i].starty), GetIndex(lines[i].endy));
else // 遇窗口的右边界，将其删出线段树
DeleteSegTree(tree, GetIndex(lines[i].starty), GetIndex(lines[i].endy));
if (lines[i].x!=lines[i-1].x && search[0].x < lines[i+1].x && search[1].x > lines[i].x)
{
// 从待查窗口区域的左边界开始查询直到其右边界结束查询
res = FindSegTree(tree, GetLower(search[0].starty), GetUpper(search[0].endy));
if (!res) break;
}else if (search[1].x <= lines[i].x)
break;
}
if (res) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
return 0;
}
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