并查集

并查集（union-find set）

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并问题。

并查集的主要操作

1. 初始化集合（Make_Set(x)）

      把每一个元素初始化为一个集合，初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2. 合并不相交的两个集合（Union(x,y)）

     合并操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

 

 

3. 判断两个元素是否是同一个集合（Find_Set(x)）

    本操作可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

 

并查集优化

1. Find_Set(x)时，路径压缩

      寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？

      这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

 

2. Union(x,y)时，按秩合并

   即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

主要代码实现

int father[MAX];   /* father[x]表示x的父节点*/
int rank[MAX];     /* rank[x]表示x的秩*/


/* 初始化集合*/
void Make_Set(int x)
{
    father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化
    rank[x] = 0;   //根据实际情况初始化秩也有所变化
}


/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/
int Find_Set(int x)
{
    if (x != father[x])
    {
        father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华
    }
    return father[x];
}


/* 
   按秩合并x,y所在的集合
   下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化
   但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。
*/
void Union(int x, int y)
{
    x = Find_Set(x);
    y = Find_Set(y);
    if (x == y) return;
    if (rank[x] > rank[y]) 
    {
        father[y] = x;
    }
    else
    {
        if (rank[x] == rank[y])
        {
            rank[y]++;
        }
        father[x] = y;
    }
}

复杂度分析

空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。

应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有：求无向图的连通分量个数，最近公共祖先（LCA），带限制的作业排序，实现Kruskar算法求最小生成树等。

经典题目练习

POJ1611

思路：

典型的并查集，最初各自为集，然后每个group进行合并，等到所有的group合并完，题目也就解决了，因为在合并的时候，如果哪两个group中有重合的元素，则那个后来的group会由于按秩合并的原则自动合并到先有的集合当中。

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 30005
int n,m,i,j;
int father[N],num[N];

//初始化各自的father为本身
void MakeSet(int n){
	for(i=0;i<n;i++){
		father[i] = i;
		num[i]=1;
	}
}

//递归的findset
int FindSet(int x){
	if(x != father[x]){
		father[x] = FindSet(father[x]);
	}
	return father[x];
}

void UnionSet(int a,int b){
	int x = FindSet(a);
	int y = FindSet(b);
	if(x == y){
	     return;
	}
	if(num[x] > num[y]){
		father[y] = x;
		num[x] += num[y];
	}else{
		father[x] = y;
		num[y] += num[x];
	}
}

int main(void) {

	while(scanf("%d %d",&n,&m) != EOF && n != 0){
		MakeSet(n);
		for(i=0;i<m;i++){
			int count,first,x;
			scanf("%d %d",&count,&first);
			for(j=1;j<count;j++){
				scanf("%d",&x);
				UnionSet(first,x);
			}
		}
		printf("%d\n",num[FindSet(0)]);
	}
	return EXIT_SUCCESS;
}
 -1做根和使用非递归实现的代码

void MakeSet(int n){
	for(i=0;i<n;i++){
		father[i] = -1;
		num[i]=1;
	}
}

int FindSet(int x){
	while(father[x] != -1){
		x = father[x];
	}
	return x;
}