平面上求最近点对问题

求点集中的最近点对有以下两种方法:

设p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n个点构成的集合S，设计算法找出集合S中距离最近的点对。

1、蛮力法（适用于点的数目比较小的情况下）

1）算法描述：已知集合S中有n个点，一共可以组成n(n-1)/2对点对，蛮力法就是对这n(n-1)/2对点对逐对进行距离计算，通过循环求得点集中的最近点对：

2）代码描述：

double MinDistance = double.maxvalue；  //设置一个MinDistance存储最近点对的距离，初始值为无穷大
int PointIndex1,PointIndex2； //设置PointIndex1,PointIndex2分别存储最近点对的两个点编号
for (i=1; i< n; i++)    //循环计算n(n-1)/2对点对的距离
{
     for (j=i+1; j<=n; j++)
     {
           double PointDistance = Distance(S[i],S[j]);   //求得point i和point j之间的距离
            if PointDistance < MinDistance;  //如果当前点对距离小于最小点对距离，则设置最小点对距离等于当前点对距离
           {
                 MinDistance = PointDistance;
                 PointIndex1 = i;
                 PointIndex2 = j;
            }
       }
 }

3）算法时间复杂度：算法一共要执行 n(n-1)/2次循环，因此算法复杂度为O(n²)

2、分治法

1）算法描述：已知集合S中有n个点，分治法的思想就是将S进行拆分，分为2部分求最近点对。算法每次选择一条垂线L，将S拆分左右两部分为S_L和S_R，L一般取点集S中所有点的中间点的x坐标来划分，这样可以保证S_L和S_R中的点数目各为n/2，

（否则以其他方式划分S，有可能导致S_L和S_R中点数目一个为1，一个为n-1，不利于算法效率，要尽量保持树的平衡性）

依次找出这两部分中的最小点对距离：δ_L和δ_R，记S_L和S_R中最小点对距离δ = min（δ_L，δ_R），如图1：

以L为中心，δ为半径划分一个长带，最小点对还有可能存在于S_L和S_R的交界处，如下图2左图中的虚线带，p点和q点分别位于S_L和S_R的虚线范围内，在这个范围内，p点和q点之间的距离才会小于δ，最小点对计算才有意义。

Figure 2

对于S_L虚框范围内的p点，在S_R虚框中与p点距离小于δ的顶多只有六个点，就是图二右图中的2个正方形的6的顶点。这个可以反推证明，如果右边这2个正方形内有7个点与p点距离小于δ，例如q点，则q点与下面正方形的四个顶点距离小于δ，则和δ为S_L和S_R中的最小点对距离相矛盾。因此对于S_L虚框中的p点，不需求出p点和右边虚线框内所有点距离，只需计算S_R中与p点y坐标距离最近的6个点，就可以求出最近点对，节省了比较次数。

（否则的话，最坏情形下，在S_R虚框中有可能会有n/2个点，对于S_L虚框中的p点，每次要比较n/2次，浪费了算法的效率）

代码描述：

1）对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序，获得点集S_x和S_y

2）令δ=∞; //δ为最小点位距离

3）Divide_conquer（S_x，S_y，δ） //分治法

if （S_x.count=1） then δ=∞; //如果S_x中只有一个点，则δ=∞

return δ;

else if（S_x.count=2 and d（S_x.[0],S_x.[1]）<δ） //如果S_x中只有2个点，则δ为两点之间距离

δ=d（S_x.[0],）S_x.[1]）;

return δ;

else //如果S_x中多于2个点，则将S_x,S_y分治，以中心点画线，将S_x分为左右两部分S_xL和S_xR，S_y分为S_yL和S_yR

j₁=1,j₂=1,k₁=1,k₂=1;

mid = S_x.count/2; //mid为S_x中的中间点点号

L = S_x.[mid].x; //L为S_x中的中间点x坐标

for(i=1,i<S_x.count,i++)

{

if(i<=mid) //将S_x中间线以左地方的点存入到S_xL，新数组保持原来的升序性质

S_xL[k₁] = S_x[i] k₁++;

else //将S_x中间线以右的地方的点存入到S_xR，新数组保持原来的升序性质

S_xR.count[k₂] = S_x[i] k₂++;

if(S_y[i].x <L) //将S_y中间线以左地方的点存入到S_yL，新数组保持原来的升序性质

S_yL[j₁] = S_x[i] j₁++;

else //将S_y中间线以右地方的点存入到S_yR，新数组保持原来的升序性质

S_yR[j₂] = S_x[i] j₂++;

}

δ_L = Divide_conquer（S_xL，S_yL，δ）; //获取S_x中的的最小点位距离δ_L

δ_R = Divide_conquer（S_xR，S_yR，δ）; //获取S_y中的的最小点位距离δ_R

δ= min (δ_L,δ_R);

δ=merge(S_yL，S_yR，δ); //获S_x中S_y交界处的最小点位距离，并综合δ_L和δ_R 求出点集的最小点位距离δ

return δ;

函数merge(S_yL，S_yR，δ)

merge(S_yL，S_yR，δ)

{

i₁=1,i₂=1;

for(i=1,i<S_yL.count,i++) //获取S_yL中在左边虚框(距离小于δ)内的点，存入到S'_yL中，新数组保持原来的升序性质

{

if(S_yL[i].x>L-δ)

then S'_yL[i₁]= S_yL[i], i₁++,

}

for(i=1,i<S_yR.count,i++) //获取S_yR中在右边虚框(距离小于δ)内的点，存入到S'_yR中，新数组保持原来的升序性质

{

if(S_yR[i].x<L+δ)

then S'_yR[i₂]= S_yR[i], i₂++,

}

t=1;

for(i=1,i<S'_yL.count,i++)

{

while(S'_yR[t].y< S'_yL[t].yand t < S_yR.count) //获取点集S'_yR内距离点S'_yL[t]y坐标最接近的点号

{ t++; }

for( j= max(1,t-3), j<=min(t+3,S'_yR.count),j++) //计算S'_yR中的点与S'_yL[t]y坐标相邻的六个点的距离

{

if(d(S'_yL[i],S'_yL[j])<δ) //如果前两点之间距离小于δ

then δ = d(S'_yL[i],S'_yL[j]); //则最小点位距离δ为当前两点之间距离

}

return δ

}

3）算法时间复杂度：

首先对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序，需要循环2nlogn次，复杂度为O(2nlogn)

接下来在分治过程中，对于每个S'_yL中的点，都需要与S'_yR中的6个点进行比较

O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6（一个点集划分为左右两个点集，时间复杂度为左右两个点集加上中间区域运算之和）

其解为O(n)< O(3nlogn)

因此总的时间复杂度为O(3nlogn)，比蛮力法的O(n²)要高效。