`
玉箫客
  • 浏览: 12692 次
最近访客 更多访客>>
社区版块
存档分类
最新评论

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

阅读更多
迪杰斯特拉算法
  迪杰斯特拉(Dijkstra)算法思想
  按路径长度递增次序产生最短路径算法:
  把V分成两组:
  (1)S:已求出最短路径的顶点的集合
  (2)V-S=T:尚未确定最短路径的顶点集合,将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中,保证:(1)从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度 (2)每个顶点对应一个距离值S中顶点:从V0到此顶点的最短路径长度T中顶点:从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度依据:可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径,或是从V0到Vk的直接路径的权值;或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和(反证法可证)
     求最短路径步骤
  算法步骤如下:
  1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点},T中顶点对应的距离值若存在<V0,Vi>,d<v0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值   若不存在<V0,Vi>,d(V0,Vi)为∝
  2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中,加入S
   3. 对T中顶点的距离值进行修改:若加进W作中间顶点,从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短,则修改此距离值
  重复上述步骤2、3,直到S中包含所有顶点,即S=T为止
迪杰斯特拉算法的原理
  首先,引进一个辅助向量D,它的每个分量D表示当前所找到的从始点v到每个终点vi的最短路径的长度。如D[3]=2表示从始点v到终点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于最短路径长度。它的初始状态为:若从v到vi有弧,则D为弧上的权值;否则置D为∞。显然,长度为 D[j]=Min{D | vi∈V} 的路径就是从v出发的长度最短的一条最短路径。此路径为(v,vj)。 那么,下一条长度次短的最短路径是哪一条呢?假设该次短路径的终点是vk,则可想而知,这条路径或者是(v,vk),或者是(v,vj,vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值,或者是D[j]和从vj到vk的弧上的权值之和。 一般情况下,假设S为已求得最短路径的终点的集合,则可证明:下一条最短路径(设其终点为X)或者是弧(v,x),或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点X的路径。因此,下一条长度次短的最短路径的长度必是D[j]=Min{D | vi∈V-S} 其中,D或者是弧(v,vi)上的权值,或者是D[k](vk∈S)和弧(vk,vi)上的权值之和。 迪杰斯特拉算法描述如下: 1)arcs表示弧上的权值。若不存在,则置arcs为∞(在本程序中为MAXCOST)。S为已找到从v出发的最短路径的终点的集合,初始状态为空集。那么,从v出发到图上其余各顶点vi可能达到的最短路径长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,v),i] vi∈V 2)选择vj,使得D[j]=Min{D | vi∈V-S} 3)修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。
  Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。
  其基本思想是,设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
  初始时,S中仅含有源。设u是G的某一个顶点,把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径,并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u,将u添加到S中,同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

  以下是具体的实现(C/C++):
  /***************************************
  * About: 有向图的Dijkstra算法实现
  * Author: Tanky Woo
  ***************************************/
  #include <iostream>
  using namespace std;
  const int maxnum = 100;
  const int maxint = 999999;
  // 各数组都从下标1开始
  int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度
  int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点
  int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度
  int n, line; // 图的结点数和路径数
  // n -- n nodes
  // v -- the source node
  // dist[ ] -- the distance from the ith node to the source node
  // prev[ ] -- the previous node of the ith node
  // c[ ][ ] -- every two nodes' distance
  void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
  {
  bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中
  for(int i=1; i<=n; ++i)
  {
  dist[i] = c[v][i];
  s[i] = 0; // 初始都未用过该点
  if(dist[i] == maxint)
  prev[i] = 0;
  else
  prev[i] = v;
  }
  dist[v] = 0;
  s[v] = 1;
  // 依次将未放入S集合的结点中,取dist[]最小值的结点,放入结合S中
  // 一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
  // 注意是从第二个节点开始,第一个为源点
  for(int i=2; i<=n; ++i)
  {
  int tmp = maxint;
  int u = v;
  // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
  for(int j=1; j<=n; ++j)
  if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
  {
  u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
  tmp = dist[j];
  }
  s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中
  // 更新dist
  for(int j=1; j<=n; ++j)
  if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
  {
  int newdist = dist[u] + c[u][j];
  if(newdist < dist[j])
  {
  dist[j] = newdist;
  prev[j] = u;
  }
  }
  }
  }
  // 查找从源点v到终点u的路径,并输出
  void searchPath(int *prev,int v, int u)
  {
  int que[maxnum];
  int tot = 1;
  que[tot] = u;
  tot++;
  int tmp = prev[u];
  while(tmp != v)
  {
  que[tot] = tmp;
  tot++;
  tmp = prev[tmp];
  }
  que[tot] = v;
  for(int i=tot; i>=1; --i)
  if(i != 1)
  cout << que[i] << " -> ";
  else
  cout << que[i] << endl;
  }
  int main()
  {
  freopen("input.txt", "r", stdin);
  // 各数组都从下标1开始
  // 输入结点数
  cin >> n;
  // 输入路径数
  cin >> line;
  int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度
  // 初始化c[][]为maxint
  for(int i=1; i<=n; ++i)
  for(int j=1; j<=n; ++j)
  c[i][j] = maxint;
  for(int i=1; i<=line; ++i)
  {
  cin >> p >> q >> len;
  if(len < c[p][q]) // 有重边
  {
  c[p][q] = len; // p指向q
  c[q][p] = len; // q指向p,这样表示无向图
  }
  }
  for(int i=1; i<=n; ++i)
  dist[i] = maxint;
  for(int i=1; i<=n; ++i)
  {
  for(int j=1; j<=n; ++j)
  printf("%8d", c[i][j]);
  printf("\n");
  }
  Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
  // 最短路径长度
  cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
  // 路径
  cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
  searchPath(prev, 1, n);
  }
  输入数据:
  5
  7
  1 2 10
  1 4 30
  1 5 100
  2 3 50
  3 5 10
  4 3 20
  4 5 60
  输出数据:
  999999 10 999999 30 100
  10 999999 50 999999 999999
  999999 50 999999 20 10
  30 999999 20 999999 60
  100 999999 10 60 999999
  源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
  源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
  最后给出两道题目练手,都是直接套用模版就OK的:
  1.HDOJ 1874 畅通工程续
  2.HDOJ 2544 最短路
分享到:
评论

相关推荐

    Dijkstra(迪杰斯特拉)算法模板

    ### Dijkstra(迪杰斯特拉)算法概述 Dijkstra算法是一种经典的单源最短路径算法,主要用于计算一个起点到图中其他所有顶点的最短路径。它在多个领域都有广泛应用,例如网络路由、地图导航等。Dijkstra算法的主要...

    C++华沙Warshall与迪杰斯特拉Dijkstra算法实现.zip

    在IT领域,图论是计算机科学的一个重要分支,其中Warshall算法和Dijkstra算法是非常关键的路径搜索算法。本文将详细介绍这两个算法以及它们在C++中的实现。 **Warshall算法**,也称为华沙算法,是由Stephen ...

    迪杰斯特拉 Dijkstra 寻路算法演示程序

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是图论中一种经典的最短路径算法,由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出。这个算法主要用于寻找有向图或无向图中从单一源节点到其余所有节点的最短路径。在本程序中,它被...

    MATLAB轻松绘制地图路线-Dijkstra(迪杰斯特拉)算法最短路径规划

    Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出的,其主要目的是找到图中两个节点间的最短路径。在城市导航、网络路由等领域,该算法广泛应用于寻找两点间的最快或最短路径。它的基本思想是从起点...

    迪杰斯特拉算法代码实现

    实现迪杰斯特拉算法 Dijkstra void main() { //设置初值 int u=1; //设源点的序号为1 for(int i=0; i; i++) { Visited[i]=0; path[i]=u-1; Distance[i]=Graph[u-1][i]; } Visited[u-1]=1; //源点已...

    Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法)最短路径问题,实现项目实例,北京地铁简易导航系统 包含项目源码,以及项目详细介绍文档

    内容概要:Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法)最短路径问题,实现项目实例,北京地铁简易导航系统包含项目源码,以及项目详细介绍文档 使用人群:数据结构,算法学者,具体实现项目(可供参考) 注意事项:请勿转载 ...

    Dijkstra(迪杰斯特拉)算法实现

    经典算法Dijkstra 的实现,基于XNA平台,C#语言,可视化的展示形式。 用法:拖拽节点到合适位置,按一次键盘S键后用鼠标点击两个节点,然后用小键盘区的数字键可设置权值。按B键再点节点设置起点,按E再点节点设置...

    迪杰斯特拉算法(Dijkstra算法) c++实现.zip

    迪杰斯特拉算法(Dijkstra算法)是一种在有向图或无向图中寻找最短路径的算法,由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉于1956年提出。该算法主要应用于网络路由、图形算法等领域,用于解决单源最短路径问题,即从图中...

    C++版本迪杰斯特拉(Dijkstra)算法原理及代码实现

    ### C++ 版本迪杰斯特拉(Dijkstra)算法原理及代码实现 #### 一、迪杰斯特拉算法概述 迪杰斯特拉算法(Dijkstra's Algorithm),由荷兰计算机科学家 Edsger Wybe Dijkstra 在 1959 年提出,用于解决单源最短路径...

    迪杰斯特拉算法(Dijkstra)

    数据结构与算法中图求最短路径,迪杰斯特拉算法的实现,带详细注释,可完整实现。

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法思想代码实现

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是一种用于寻找有向图中两个节点之间最短路径的算法,由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出。该算法的主要思想是按路径长度递增的顺序逐步构建最短路径。在每次迭代中,算法...

    迪杰斯特拉算法matlab源码

    用MATLAB实现迪杰斯特拉算法来寻找最短路径,压缩包中DIJ为算法的执行程序,SymMatrix为将邻接矩阵补齐为对称矩阵的程序,两个graph文件存储的两个邻接矩阵,DIJ加载了其中一个进行计算。也可以自己重新编辑邻接矩阵...

    7S迪杰斯特拉算法

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是图论中一种非常重要的最短路径算法,由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出。它主要用于寻找有向图或无向图中从源节点到其他所有节点的最短路径。7S迪杰斯特拉算法可能是对...

    迪杰斯特拉算法的Java实现

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是图论中一种经典的最短路径算法,由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出。它主要用于寻找带权有向图或无向图中从一个源节点到其他所有节点的最短路径。这个算法的核心思想是...

    数据结构迪杰斯特拉算法程序

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法则是图论中的一种著名算法,用于寻找带权有向图中从一个源节点到其他所有节点的最短路径。在本项目中,我们将深入探讨这个算法及其在数据结构中的应用。 迪杰斯特拉算法的基本思想是使用...

    关键路径实现,迪杰斯特拉算法,弗洛伊德算法

    迪杰斯特拉算法(Dijkstra's Algorithm)是寻找有向或无向图中单源最短路径的算法。由艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出,主要用于解决实际生活中的路线规划问题。该算法的核心思想是从起始节点开始,逐步扩展最短路径...

    Dijkstra迪杰斯特拉加权有向图最短路径动态演示(Python GUI tkinter)—山东大学数据结构课程设计

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是图论中的一个经典算法,用于寻找加权有向图中从起点到所有其他顶点的最短路径。在这个山东大学数据结构课程设计项目中,学生通过Python的图形用户界面(GUI)库tkinter实现了Dijkstra...

    c++实现迪杰斯特拉算法(Dijkstra算法).zip

    迪杰斯特拉算法(Dijkstra算法)是一种在加权图中寻找最短路径的经典算法,由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉提出。它主要用于解决单源最短路径问题,即从图中的一个顶点(源点)出发,找到到达其他所有顶点的...

    数据库课程设计《火车出行路线规划及售票系统》迪杰斯特拉算法实现

    核心算法是迪杰斯特拉(Dijkstra)算法,它用于解决最短路径问题,帮助用户找到从一个城市到另一个城市花费最少的火车出行路线。而简单工厂模式则被用来设计用户界面和操作流程,使得用户可以方便地与系统交互。 ...

Global site tag (gtag.js) - Google Analytics