进制转换

1. 十 -----> 二

　　给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？


　　10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程：


　　把要转换的数，除以2，得到商和余数，


　　将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。


　　听起来有些糊涂？我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。


　　“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。


　　那么：
   [十转二示意图]

十转二示意图

要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。


　　“将商继续除以2,直到商为0……”


　　现在商是3，还不是0，所以继续除以2。



　　那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。


　　“将商继续除以2，直到商为0……”


　　现在商是1，还不是0，所以继续除以2。


　　那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1


　　“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”


　　好极！现在商已经是0。


　　我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！


　　6转换成二进制，结果是110。


　　把上面的一段改成用表格来表示，则为：


　　被除数 计算过程 商 余数


　　6 6/2 3 0


　　3 3/2 1 1


　　1 1/2 0 1


　　（在计算机中，÷用 / 来表示）
2. 二 ----> 十

　　二进制数转换为十进制数


　　二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……


　　所以，设有一个二进制数：0110 0100，转换为10进制为：


　　下面是竖式：


　　0110 0100 换算成 十进制


　　" ^ " 为次方


　　第0位 0 * 2^0 = 0


　　第1位 0 * 2^1 = 0


　　第2位 1 * 2^2 = 4


　　第3位 0 * 2^3 = 0


　　第4位 0 * 2^4 = 0


　　第5位 1 * 2^5 = 32


　　第6位 1 * 2^6 = 64


　　第7位 0 * 2^7 = 0 +


　　公式：第N位10^（N-1）


　　---------------------------


　　100


　　用横式计算为：


　　0 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 + 0 * 2 ^ 3 + 0 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 + 0 * 2 ^ 7 = 100


　　0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：


　　1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 = 100
3. 十 ----> 八

　　10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化：除数由2变成8。


　　来看一个例子，如何将十进制数120转换成八进制数。


　　用表格表示：


　　被除数 计算过程 商 余数


　　120 120/8 15 0


　　15 15/8 1 7


　　1 1/8 0 1


　　120转换为8进制，结果为：170。
4. 八 ----> 十

　　八进制就是逢8进1。


　　八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。


　　八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……


　　所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为：


　　用竖式表示：


　　1507换算成十进制。


　　第0位 7 * 8^0 = 7


　　第1位 0 * 8^1 = 0


　　第2位 5 * 8^2 = 320


　　第3位 1 * 8^3 = 512


　　--------------------------


　　839


　　同样，我们也可以用横式直接计算：


　　7 * 8^0 + 0 * 8^1 + 5 * 8^2 + 1 * 8^3 = 839


　　结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839
5. 十 ----> 十六

　　10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化：除数由2变成16。


　　同样是120，转换成16进制则为：


　　被除数 计算过程 商 余数


　　120 120/16 7 8


　　7 7/16 0 7


　　120转换为16进制，结果为：78。
6. 十六----> 十

　　16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这六个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。


　　十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……


　　所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小为 X * 16的N次方。


　　假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢？


　　用竖式计算：


　　2AF5换算成10进制:


　　第0位： 5 * 16^0 = 5


　　第1位： F * 16^1 = 240


　　第2位： A * 16^2 = 2560


　　第3位： 2 * 16^3 = 8192 +


　　-------------------------------------


　　10997


　　直接计算就是：


　　5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997


　　(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)


　　现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。


　　假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四？你尽可以给他这么一个算式：


　　1234 = 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0
7. 二 ----> 八

　　（11001.101）（二）


　　整数部分： 从后往前每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：


　　001=1


　　011=3


　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：31，那么这个31就是二进制11001的八进制形式


　　小数部分： 从前往后每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：


　　101=5


　　然后我们将结果部分按从上往下的顺序书写就是：5，那么这个5就是二进制0.101的八进制形式


　　所以：（11001.101）（二）=（31.5）（八）
8. 八 ----> 二

　　（31.5）（八）


　　整数部分：从后往前每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有：


　　1---->1---->001


　　3---->11


　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：11001，那么这个11001就是八进制31的二进制形式


　　说明，关于十进制的转化方式我这里就不再说了，上一篇文章我已经讲解了！


　　小数部分：从前往后每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有：


　　5---->101


　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：101，那么这个101就是八进制5的二进制形式


　　所以：（31.5）（八）=（11001.101）（二）
9. 十六 ----> 二 ；二 ----> 十六

　　二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。


　　我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。


　　首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？


　　你可能还要这样计算：1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。


　　然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的权值为2^3 = 8，然后依次是 2^2 = 4，2^1=2， 2^0 = 1。


　　记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。


　　下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值（中间略过部分）


　　仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值


　　1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F


　　1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E


　　1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D


　　1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C


　　1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B


　　1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A


　　1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9


　　....


　　0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1


　　0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0


　　二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。


　　如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)：


　　1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011


　　F D ， A 5 ， 9 B


　　反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？


　　先转换F：


　　看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。


　　接着转换 D：


　　看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1,即：1101。


　　所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1101


　　由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。


　　比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数:


　　被除数 计算过程 商 余数


　　1234 1234/16 77 2


　　77 77/16 4 13 (D)


　　4 4/16 0 4


　　结果16进制为： 0x4D2


　　然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1101 0010。


　　其中对映关系为：


　　0100 -- 4


　　1101 -- D


　　0010 -- 2


　　同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。


　　下面举例一个int类型的二进制数：


　　01101101 11100101 10101111 00011011


　　我们按四位一组转换为16进制： 6D E5 AF 1B


　　再转换为10进制：6*16^7+D*16^6+E*16^5+5*16^4+A*16^3+F*16^2+1*16^1+B*16^0=1,843,769,115

编辑本段二、负数

　　负数的进制转换稍微有些不同。


　　先把负数写为其补码形式（在此不议），然后再根据二进制转换其它进制的方法进行。


　　例：要求把-9转换为八进制形式。则有：


　　-9的补码为11110111。然后三位一划


　　111---->7


　　110---->6


　　011---->3


　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：367，那么367就是十进制数-9的八进制形式。