最大似然估计

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数学与计算

一、基本概念

给定一个概率分布 $D$ ，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为 $f_D$ ，以及一个分布参数 $\theta$ ，我们可以从这个分布中抽出一个具有 $n$ 个值的采样 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，通过利用 $f_D$ ，我们就能计算出其概率：

$\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

但是，我们可能不知道 $\theta$ 的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布 $D$ 。那么我们如何才能估计出 $\theta$ 呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有 $n$ 个值的采样 $X_1, X_2, ..., X_n$ ，然后用这些采样数据来估计 $\theta$ .

一旦我们获得 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，我们就能从中找到一个关于 $\theta$ 的估计。最大似然估计会寻找关于 $\theta$ 的最可能的值（即，在所有可能的 $\theta$ 取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如 $\theta$ 的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的 $\theta$ 值。

要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义似然函数:

$\mbox{lik}(\theta) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

什么是似然函数？

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作 $\mathbb{P}(A \mid B)$ 。

$P(A \mid B) = \frac{P(A , B)}{P(B)} \!$

利用贝叶斯定理，

$P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B)\;P(B)}{P(A)} \!$

因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数 $\mathbb{L}(B \mid A)$ ，我们估计参数B的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

$b\mapsto P(A \mid B=b) \!$

注意到这里并不要求似然函数满足归一性： $\sum_{b \in \mathcal{B}}P(A \mid B=b) = 1$ 。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有 $\alpha > 0$ ，都可以有似然函数：

$L(b \mid A) = \alpha \; P(A \mid B=b) \!$

并且在 $\theta$ 的所有取值上，使这个函数最大化。这个使可能性最大的 $\widehat{\theta}$ 值即被称为 $\theta$ 的最大似然估计。

二、基本应用理解

离散分布，离散有限参数空间

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样 $x_1=\mbox{H}, x_2=\mbox{T}, \ldots, x_{80}=\mbox{T}$ 并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为 $p$ ，抛出一个反面的概率记为 $1-p$ （因此，这里的 $p$ 即相当于上边的 $\theta$ ）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为 $p=1/3$ , $p=1/2$ , $p=2/3$ .这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：

$\begin{matrix} \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/3) & = & \binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} \approx 0.000 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/2) & = & \binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} \approx 0.012 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=2/3) & = & \binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} \approx 0.054 \\ \end{matrix}$

我们可以看到当 $\widehat{p}=2/3$ 时，似然函数取得最大值。这就是 $p$ 的最大似然估计。

离散分布，连续参数空间

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于 $0\leq p \leq 1$ 中的任何一个 $p$ ，都有一个抛出正面概率为 $p$ 的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：

$\begin{matrix} \mbox{lik}(\theta) & = & f_D(\mbox{H=49,T=80-49}\mid p) = \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \\ \end{matrix}$

其中 $0\leq p \leq 1$ . 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对 $p$ 取微分，并使其为零。

$\begin{matrix} 0 & = & \frac{d}{dp} \left( \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \right) \\ & & \\ & \propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \\ & & \\ & = & p^{48}(1-p)^{30}\left[ 49(1-p) - 31p \right] \\ \end{matrix}$

在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。

其解为 $p=0$ , $p=1$ ，以及 $p=49/80$ .使可能性最大的解显然是 $p=49/80$ （因为 $p=0$ 和 $p=1$ 这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为 $\widehat{p}=49/80$ .

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母 $t$ 代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母 $n$ 代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

$\widehat{p}=\frac{t}{n}$

对于任何成功次数为 $t$ ，试验总数为 $n$ 的伯努利试验

连续分布，连续参数空间

最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

$f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

现在有 $n$ 个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其 $n$ 个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

或：

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ ,

这个分布有两个参数： $\mu,\sigma^2$ .有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性 $\mbox{lik}(\mu,\sigma) = f(x_1,,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma^2)$ 在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有 $\theta=(\mu,\sigma^2)$ .

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凸函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

$\begin{matrix} 0 & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\ & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ & = & 0 - \frac{-2n(\bar{x}-\mu)}{2\sigma^2} \\ \end{matrix}$

这个方程的解是 $\widehat{\mu} = \bar{x} = \sum^{n}_{i=1}x_i/n$ .这的确是这个函数的最大值，因为它是 $\mu$ 里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理，我们对 $\sigma$ 求导，并使其为零。

$\begin{matrix} 0 & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\ & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{n}{2}\log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right) - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ & = & -\frac{n}{\sigma} + \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{\sigma^3} \\ \end{matrix}$

这个方程的解是 $\widehat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\widehat{\mu})^2/n$ .

因此，其关于 $\theta=(\mu,\sigma^2)$ 的最大似然估计为：

$\widehat{\theta}=(\widehat{\mu},\widehat{\sigma}^2) = (\bar{x},\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/n)$

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2012-05-30 17:29
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