进制间转换

1. 进制的概念

因为不可能为每个数值都创造一个符号，所以需要用基本数字组合出复合的数值，这样就有了进制的概念。

其实所有进制都是人为的创造，都是用来计数方便的。现在最常用的进制是十进制，当然其它的进制也在使用中。例如“半斤八两”这个成语，就反映了古代一斤等于十六两的概念，也就是十六进制计数方式。

计算机编程中常用的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制，十进制还是最主要的表达形式。在编程中，大家书写的数值默认为十进制。

对于进制，有两个最基本的概念：基数和运算规则。

u基数

基数指一种进制中组成的基本数字，也就是不能再拆分的数字。例如十进制是0-9，二进制是0和1，八进制是0-7，十六进制是0-9，A-F(大小写均可)。或者可以简单的这样记忆，假设是n进制的话，基数就是[0,n-1]的数字，基数的个数和进制值相同，十进制有十个基数，依次类推。

u运算规则

运算规则就是进位或借位规则，这个类似于一般计算机书籍中位权的概念，例如对于十进制来说，该规则是“满十进一，借一当十”，也就是低位的数字满十了向高位进一，从高位借到的一，相当于低位上的十。其它的进制也是这样，对于二进制来说，就是“满二进一，借一当二”，八进制和十六进制也是这样。

在数学上表示一个数字是几进制，通常使用如下格式：[数值]进制数，例如[10]2 表示二进制数值10。

1.1. 二进制

二进制是计算机内部数据表示的形式，所以学习计算机编程必须熟悉二进制。熟悉二进制有以下几个用途：

u更容易理解计算机的数据存储方式

计算机内部的很多转换，例如数据类型之间的强转，都可以用二进制解释最终的结果的值。

u二进制的运算速度高

二进制的运算速度比十进制高的多。例如求2的n次方，通过移位实现的效率比数学方法高效。

u使用二进制数值进行数据存储

以二进制的形式存储数值，一个是比较节约资源，可以使用二进制的位来存储信息，例如常见的硬件控制信息，都是二进制的形式进行提供的。

如前所述，二进制包含0和1两个基数，运算规则是“满二进一，借一当二”，下面简单的介绍一下二进制的计数方式。

例如十进制的0-9用二进制进行表达，则依次是：

0，1，10，11，100，101，110，111，1000，1001

说明：数值之间使用逗号进行间隔。

下面是二进制的一些基本运算结果：

u加法运算

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

u减法运算

0 – 0 = 0

0 – 1 = -1

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

u乘法运算

0 × 0 = 0

0 × 1 = 0

1 × 0 = 0

1 × 1 = 1

u除法运算

0 / 0 无意义

0 / 1 = 0

1 / 0 无意义

1 / 1 = 1

以下是一些符合的表达式：

110 + 111 =1101

这些基本的运算结构在实际开发中一般不会直接用到，但是通过这些内容可以加深对于二进制概念的理解。

1.2. 二进制和十进制之间的转换

由于计算机内部的数据是以二进制进行表达的，而十进制又是日常生活中最常用的进制，所以它们之间经常需要进行转换。下面介绍一下转换的方式。

1.2.1.十进制转换为二进制

十进制整数转换为二进制有三种方法，分别是除二取余、计算器转换和经验法。十进制小数的转换方法最后做简单的介绍。

u除二取余法

除二取余法是转换时的最基本方法，也是最通用的方法。规则为：使用十进制和2去除，取每次得到的商和余数，用商继续和2相除，直到商为零为止，第一次得到的余数作为二进制的低位，最后一次得到的余数作为二进制的高位，由余数组成的数字就是转换后二进制的值。例如十进制的13转换为二进制的计算步骤如下：

商	余数
13 / 2 = 6	1
6 / 2 = 3	0
3 / 2 = 1	1
1 / 2 = 0	1
则计算的最终结果就是1101。

u计算器转换

Windows操作系统中的计算器也可以很方便的实现进制之间的转换。在程序菜单中附件子菜单中打开计算器，从打开的计算器的查看菜单中，选择“科学型”，输入你要转换的十进制的数字，例如13，然后界面上数字显示框西侧的“二进制“，则转换后的数值就直接显示在计算器中。

u经验法

对于二进制熟悉以后，那么计算十进制对应的数字可以通过一些基本的数学变换来实现，在使用经验法以前，必须熟记2的0-10次方对应的十进制的值，依次是：

1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024

则转换一些特殊的数字时可以极大的提高转换速度，例如数字65，则可以这样转换：

65 = 64 + 1

64对应的二进制形式为1000000

1对应的二进制形式为1

则65的二进制形式为1000001

这个只适合转换一些特殊的数字，适应性没有除二取余法广泛。

十进制小数的转换采用的一般方法是乘二取整法，规则为：对于小数部分先乘二，然后获得运算结果的整数部分，然后将结果中的小数部分再次乘二，直到小数部分为零为止，则把第一次得到的整数部分作为二进制小数的高位，后续的整数部分作为地位就是转换后得到的二进制小数。需要说明的是，有些十进制小数无法准确的用二进制进行表达，所以转换时符合一定的精度即可，这也是为什么计算机的浮点数运算不准确的原因。

例如0.25转换为二进制小数的步骤如下：

整数部分

0.25 × 2 = 0.5 0

0.5 × 2 = 1.0 1

则0.25转换为二进制小数为0.01

如果一个十进制数字既有整数部分，也有小数部分，则分开进行转换即可。

1.2.2.二进制转换为十进制

二进制转换为十进制采用的方法是：数字乘位权相加法。下面先以十进制为例来说明该方法，例如十进制数字345的值，5的位权是1，4的位权是10，3的位权是100，则有如下表达式成立：345=5 × 1 + 4 × 10 + 3 × 100，这就是数字乘位权相加法的原理。

其实对于十进制整数的位权很有规则，从右向左第n位的位权是十的(n-1)方，

例如个位是10(1-1)，十位是10(2-1),依次类推。

那么二进制整数的位权规律和这个一致，也就是从右向左第n位的位权是二的(n-1)方。

例如二进制整数1011转换为十进制的表达式为：

[1011]2= 1 × 2(0) + 1 × 2(1) + 0 × 2(2) + 1 × 2(3) = 1 + 2 + 0 + 8=11

而对于二进制的小数，也是采用一样的方法，只是二进制小数的位权规则为，小数点后第一位小数的位权是2的-1次方，第二位是2的-2次方，依次类推。

例如二进制小数0.1101转换为十进制小数的表达式为

[0.1101]2=1×2(-1) + 1 ×2(-2) + 0 × 2(-3) + 1 × 2(-4) = 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625=0.8125

同理，如果二进制包含整数和小数部分，则分开进行转换即可。

1.3. 二进制和八进制、十六进制之间的转换

虽然二进制是计算机内部的数据表达形式，但是由于二进制基数太少，则导致数字比较长，为了简化数字的书写，就创建了八进制和十六进制。八进制和十六进制就是对二进制的简化，所以二进制到八进制和十六进制的转换非常简单。

二进制整数转换为八进制的方法是“三位一并“，也就是从右侧开始，每3位二进制数字转换为八进制的一位，依次类推，因为二进制的三位数字可以表达的区间是000-111，刚好和0-7重合。例如：

二进制的10111转换为8进制为：最后三位111转换为7，前面的数字10转换为2，则转换后得到的八进制数字为27。

二进制整数转换为十六进制的方法是“四位一并“，例如10111转换为十六进制是0111转换为7，1转换为1，则转换后得到的十六进制数字是17。

二进制小数转换为八进制的方法也是“三位一并“，只是转换时从小数的高位开始，也就是小数的左侧开始。例如0.10111转换为八进制是101转换为5，110转换为6，则转换得到的八进制小数为0.56。需要特别注意的是，小数最后如果不足三位，一定要在后续补零以后再进行转换。

二进制小数转换为十六进制的方法也是“四位一并”，只是转换时从小数的高位开始。例如二进制小数0.10111转换为十六进制小数为，1011转换为b，1000转换为8，则转换后得到的十六进制是0.b8。

如果二进制数包含整数和小数部分，则分开进行转换。